Question

11．如圖所示，傾角θ=30°的固定斜面上有一質(zhì)量m=lkg的物體，物體連有一原長l₀=40cm的輕質(zhì)彈簧，在彈簧B端給彈簧一沿斜面向下的推力F，使物體沿斜面向下以加速度a₁=1m/s²做勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)彈簧長度l₁=30cm．已知物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，彈簧始終平行于斜面，重力加速度g=10m/s²．（彈簧始終在彈性限度內(nèi)）
（1）求推力F的大小和彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）若在彈簧B端加一沿斜面向上的拉力使物體沿斜面向上做加速度a₂=2.2m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，求彈簧的長度l₂．

Answer 1

分析 （1）以物體為研究對(duì)象，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律列方程求解；
（2）物體向上運(yùn)動(dòng)的過程中，由牛頓第二定律列方程，再根據(jù)胡克定律列方程聯(lián)立求解．

解答 解：彈簧的原長l₀=40cm=0.4m，彈簧長度l₁=30cm=0.3m．
（1）以物體為研究對(duì)象，沿斜面向下根據(jù)牛頓第二定律可得：
F+mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
解得：F=ma₁-mgsinθ+μmgcosθ=1-10×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×10×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3.5N；
根據(jù)胡克定律可得：F=k（l₀-l₁），
所以k=$\frac{F}{{l}_{0}-{l}_{1}}=\frac{3.5}{0.4-0.3}$N/m=35N/m；
（2）物體向上運(yùn)動(dòng)的過程中，由牛頓第二定律可知，
F₁-mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
根據(jù)胡克定律可得：F₁=k（l₂-l₀），
聯(lián)立解得：l₂=0.82m=82cm．
答：（1）推力F的大小為3.5N，彈簧的勁度系數(shù)為35N/m；
（2）若在彈簧B端加一沿斜面向上的拉力使物體沿斜面向上做加速度a₂=2.2m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，彈簧的長度為82cm．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了牛頓第二定律的知識(shí)；解答本題的關(guān)鍵是對(duì)物體進(jìn)行受力分析，沿斜面方向根據(jù)牛頓第二定律列方程求解．