Question

20．如圖1所示，質(zhì)量為M=0.9Kg的光滑長木板靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數(shù)為k=1000N/m的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長的細(xì)繩連接于豎直墻上，細(xì)繩所能承受的最大拉力為50N，使一質(zhì)量為m=0.1Kg小物體，以一定的初速度在木板上無摩擦地向左滑動而后壓縮彈簧，細(xì)繩被拉斷，不計細(xì)繩被拉斷時的能量損失．彈簧的彈性勢能表達(dá)式為E_p=$\frac{1}{2}$kx²（k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量）．
（1）要使細(xì)繩被拉斷，v₀應(yīng)滿足怎樣的條件；
（2）若小物體的初速度v₀=5$\sqrt{5}$m/s，長木板在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度時，求小物體的速度；
（3）若小物體最后離開長木板時相對地面速度恰好為零，請在圖2的坐標(biāo)系中定性畫出從小物體接觸彈簧到與彈簧分離的過程小物體的v-t圖象．

Answer 1

分析 細(xì)繩恰好被拉斷時，細(xì)繩的拉力恰好等于F_T，根據(jù)胡克定律求出彈簧的壓縮量．在彈簧被壓縮的過程中，物塊的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由機(jī)械能守恒求解細(xì)繩被拉斷時物塊的速度條件．彈簧壓的最短時，彈力最大，木板的加速度最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律或動量守恒定律列式求解即可．彈簧壓縮過程，彈力變大，加速度變大，物體做加速度變大的減速運(yùn)動；彈簧恢復(fù)原長過程，彈力減小，加速度減小，物體做加速度減小的減速運(yùn)動；

解答 解：（1）設(shè)細(xì)繩剛被拉斷時彈簧的壓縮量為x₁，此時有：kx₁=F
為使彈簧壓縮達(dá)到x₁，對小物塊要求是：$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$＞$\frac{1}{2}$k${x}_{1}^{2}$，
由此得到，細(xì)繩被拉斷的條件是：v₀＞5m/s，
（2）設(shè)細(xì)繩拉斷時物體的速度為v₁，從小物體接觸彈簧到壓縮到最短，小物體、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$k${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=10m/s，
當(dāng)彈簧壓縮至最短時，滑塊有向左的最大加速度a_m，此時小物體和滑塊具有相同的速度v₂；規(guī)定向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)動量守恒得：
mv₁=（m+M）v₂；
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=1m/s，
（3）圖象如圖；

答：（1）要使細(xì)繩被拉斷，v₀應(yīng)滿足的條件是v₀＞5m/s；
（2）若小物體的初速度v₀=5$\sqrt{5}$m/s，長木板在細(xì)繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度時，小物體的速度是1m/s；
（3）圖象如圖

點(diǎn)評 本題是系統(tǒng)動量守恒和機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用，要挖掘所隱含的臨界條件：細(xì)繩被拉斷剛好被拉斷時，細(xì)繩的拉力達(dá)到最大．