Question

(13分)2013年12月2日1時(shí)30分我國發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于12月14日晚9時(shí)11分順利實(shí)現(xiàn)了“月面軟著陸”，該過程的最后階段是:著陸器離月面h高時(shí)速度減小為零,為防止發(fā)動(dòng)機(jī)將月面上的塵埃吹起,此時(shí)要關(guān)掉所有的發(fā)動(dòng)機(jī)，讓著陸器自由下落著陸．己知地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的81倍,地球半徑是月球半徑的4倍，地球半徑R₀=6.4X10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，不計(jì)月球自轉(zhuǎn)的影響(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字).
(1)若題中h=3.2m，求著陸器落到月面時(shí)的速度大小；
(2)由于引力的作用，月球引力范圍內(nèi)的物體具有引力勢(shì)能．理論證明，若取離月心無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，距離月心為r的物體的引力勢(shì)能，式中G為萬有引力常數(shù)，M為月球的質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量．求著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引力范圍所需的最小速度．

Answer 1

（1）υ=3.6m/s（2）υ₀=2.5×10³m/s

試題分析：(1)設(shè)月球質(zhì)量為M、半徑為R，月面附近重力加速為g，著陸器落到月面時(shí)的速度為υ
忽略月球自轉(zhuǎn)，在月球表面附近質(zhì)量為m的物體滿足： ①  （2分）
設(shè)地球的質(zhì)量為M₀，同理有：        ②  （2分）
著陸器自由下落過程中有：υ²=2gh   ③ （2分）
由①②③式并帶入數(shù)據(jù)可得：υ=3.6m/s       （3分）
(2)設(shè)著陸器以速度υ₀從月面離開月球，要能離開月球引力范圍，則至少要運(yùn)動(dòng)到月球的零引力處，即離月球無窮遠(yuǎn)處。在著陸器從月面到無窮遠(yuǎn)處過程中，由能量關(guān)系得：  ④ （2分）
由①②④式并帶入數(shù)據(jù)可得：υ₀=2.5×10³m/s        （2分）