Question

17．在“勇氣號(hào)”火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來(lái)．假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為v₀，不計(jì)火星大氣阻力．已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T，火星可視為半徑為R的均勻球體．求：
（1）它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小v；
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速度v_min為多少？

Answer 1

分析 （1）結(jié)合萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力求出火星表面的重力加速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出衛(wèi)星第二次落到火星表面時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)重力提供向心力求出衛(wèi)星的最小發(fā)射速度

解答 解：（1）火星的一個(gè)衛(wèi)星根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
火星表面的物體重力等于萬(wàn)有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
第二次落到火星表面時(shí)速度的大小為：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速即火星的第一宇宙速度為：
$mg=m\frac{{v}_{min}^{2}}{R}$
解得：${v}_{min}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{R{T}_{\;}^{2}}}$=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小v為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}h}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}}$；
（2）在火星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，最小發(fā)射速度v_min為$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及最小的發(fā)射速度等于貼近星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度．