Question

5．如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD是圓環(huán)相互垂直的兩條直徑，C、D兩點(diǎn)與圓心O等高．一質(zhì)量為m的光滑小球套在圓環(huán)上，一根輕質(zhì)彈簧一端連在小球上，另一端固定在P點(diǎn)，P點(diǎn)在圓心O的正下方$\frac{R}{2}$處．小球從最高點(diǎn)A由靜止開始沿逆時針方向下滑，已知彈簧的原長為R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g．下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球運(yùn)動到B點(diǎn)時的速度大小為$\sqrt{2gR}$
• B． 彈簧長度等于R時，小球的機(jī)械能最大
• C． 小球運(yùn)動到B點(diǎn)時重力的功率為$2mg\sqrt{gR}$
• D． 小球在A．B兩點(diǎn)時對圓環(huán)的壓力差為4mg

Answer 1

分析 小球通過A和B兩點(diǎn)時，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求小球運(yùn)動到B點(diǎn)時的速度．在小球運(yùn)動的過程中，彈簧的彈力對小球做功等于小球機(jī)械能的增量．通過分析小球的受力情況，分析小球速度的變化，從而判斷出動能的變化情況．根據(jù)牛頓第二定律和第三定律求小球在A、B兩點(diǎn)時對圓環(huán)的壓力差．

解答 解：A、由題分析可知，小球在A、B兩點(diǎn)時彈簧的形變量大小相等，彈簧的彈性勢能相等，小球從A到B的過程，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得小球運(yùn)動到B點(diǎn)時的速度為：v_B=2$\sqrt{gR}$．故A錯誤．
B、根據(jù)小球與彈簧系統(tǒng)的機(jī)械能守恒知，彈簧長度等于R時，小彈簧的彈性勢能為零，最小，則小球的機(jī)械能最大，故B正確．
C、小球運(yùn)動到B點(diǎn)時重力與速度方向垂直，則重力的功率為0，故C錯誤．
D、設(shè)小球在A、B兩點(diǎn)時彈簧的彈力大小為F．在A點(diǎn)，圓環(huán)對小球的支持力 F₁=mg+F；
在B點(diǎn)，由圓環(huán)，由牛頓第二定律得：F₂-mg-F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得圓環(huán)對小球的支持力為：F₂=5mg+F；
則F₂-F₁=4mg，由牛頓第三定律知，小球在A、B兩點(diǎn)時對圓環(huán)的壓力差為4mg，故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚小球的受力情況，判斷能量的轉(zhuǎn)化情況，要抓住小球通過A和B兩點(diǎn)時，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢能相等．