Question

2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第Ⅱ、Ⅲ象限內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第I、IV象限內(nèi)存在半徑為L的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)圓心在M（L，0）點(diǎn)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向外，一帶正電的粒子從第III象限中的Q（-2L，-L）點(diǎn)以速度v₀=2m/s沿x軸正方向射出，恰好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，從P（2L，0）點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小和方向；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比；
（3）若L=1m，則粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系即可求解速度大小和方向；
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律及速度時(shí)間公式即可求解電場(chǎng)強(qiáng)度；再根據(jù)向心力公式及由幾何關(guān)系求出半徑即可求磁場(chǎng)強(qiáng)度；從而求出E和B的比值；
（3）根據(jù)周期公式先求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再加上在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可求解．

解答 解：（1）在電場(chǎng)力運(yùn)動(dòng)過程中，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故有：2L=v₀t₁ …①
在豎直方向上做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故有：$L=\frac{1}{2}at_1^2$=$\frac{{v}_{y}}{2}t$…②
則可知粒子到達(dá)O點(diǎn)時(shí)沿y軸正方向的分速度為：v_y=at₁=v₀，
故$tanα=\frac{v_y}{v_0}=1$，
即末速度與水平方向的夾角α=45°
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)速度為：$v=\sqrt{2}{v_0}=2\sqrt{2}m/s$
（2）由牛頓第二定律可知：
qE=ma…③
聯(lián)立①、②、③式解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$…④
洛倫茲力充當(dāng)向心力，所以有：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$，
得：$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{{\sqrt{2}m{v_0}}}{Bq}$
根據(jù)幾何關(guān)系可得：$r=\sqrt{2}L$，
故磁感應(yīng)強(qiáng)度：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$…⑤
聯(lián)立④⑤解得電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值：
$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}=1$
（3）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$=$\frac{2}{2}$s=1s；
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心角為90°，故粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t_2}=\frac{{\frac{π}{2}}}{2π}T$，
周期為：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$
由題意知：L=1m，
聯(lián)立解得：${t_2}=\frac{πL}{{2{v_0}}}$，
則粒子運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：t=t₁+t₂，
聯(lián)立可得：$t=（{1+\frac{π}{4}}）s$
答：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s；方向與水平方向成45°角；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度大小之比為1；
（3）若L=1m，則粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是（1+$\frac{π}{4}$）s．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子垂直射入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．