Question

14．如圖所示，是一兒童游戲機(jī)的簡(jiǎn)化示意圖．光滑游戲面板與水平面成一夾角θ，半徑為R的四分之一圓弧軌道BC與長(zhǎng)度為8R的AB直管道相切于B點(diǎn)，C點(diǎn)為圓弧軌道最高點(diǎn)（切線水平），管道底端A位于斜面底端，輕彈簧下端固定在AB管道的底端，上端系一輕繩，繩通過(guò)彈簧內(nèi)部連一手柄P．經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：輕彈簧無(wú)彈珠時(shí)，其上端離B點(diǎn)距離為5R，將一質(zhì)量為m的彈珠Q投入AB管內(nèi)，設(shè)法使其自由靜止，測(cè)得此時(shí)彈簧彈性勢(shì)能E_p=$\frac{1}{20}$mgRsinθ．已知彈簧勁度系數(shù)k=$\frac{10mgsinθ}{R}$．某次緩慢下拉手柄P使彈簧壓縮，后釋放手柄，彈珠Q經(jīng)C點(diǎn)被射出，假設(shè)所有軌道均光滑，忽略空氣阻力，彈珠可視為質(zhì)點(diǎn)，直管AB粗細(xì)不計(jì)．求：
（1）調(diào)整手柄P的下拉距離，可以使彈珠Q經(jīng)BC軌道上的C點(diǎn)射出，落在斜面底邊上的不同位置，其中與A的最近距離是多少？
（2）若彈珠Q落在斜面底邊上離A的距離為10R，求它在這次運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為多大？
（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈珠Q離開(kāi)彈簧前的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P離A點(diǎn)最近（設(shè)最近距離為d）時(shí)，彈珠經(jīng)C點(diǎn)速度最小，彈珠經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)規(guī)定無(wú)壓力，根據(jù)牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解；
（2）設(shè)擊中P₁點(diǎn)的彈珠再經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C，離開(kāi)C點(diǎn)后彈珠做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)基本公式求解；
（3）彈珠離開(kāi)彈簧前，在平衡位置時(shí)，速度最大，根據(jù)平衡條件結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解．

解答 解：（1）當(dāng)P離A點(diǎn)最近（設(shè)最近距離為d）時(shí)，彈珠經(jīng)C點(diǎn)速度最小，設(shè)這一速度為v₀，彈珠經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)規(guī)定無(wú)壓力，則有：
$mgsinθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{gRsinθ}$，
$8R+R=\frac{1}{2}g{t}^{2}sinθ$，
解得：t=$\sqrt{\frac{18R}{gsinθ}}$，
x=${v}_{0}t=\sqrt{18{R}^{2}}$=$3\sqrt{2}R$
d=$3\sqrt{2}R+R$
（2）設(shè)擊中P₁點(diǎn)的彈珠再經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C，離開(kāi)C點(diǎn)后彈珠做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
a=gsinθ，
10R-R=v_Ct，
又t=$\sqrt{\frac{18R}{gsinθ}}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{9}{2}gRsinθ}$，
經(jīng)C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：${F}_{N}+mgsinθ=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，解得：${F}_{N}=\frac{7}{2}mgsinθ$，
根據(jù)牛頓第三定律可知，彈珠Q對(duì)C點(diǎn)的壓力N與F_N大小相等，方向相反，
所以彈珠Q對(duì)C點(diǎn)的壓力N=$\frac{7}{2}mgsinθ$，
（3）彈珠離開(kāi)彈簧前，在平衡位置時(shí)，速度最大，
設(shè)此時(shí)彈簧壓縮量為x₀，根據(jù)平衡條件得：mgsinθ=kx₀，則${x}_{0}=\frac{R}{10}$，
取彈珠從平衡位置到C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程為研究過(guò)程，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，取平衡位置重力勢(shì)能為零，則有：
${E}_{P}+\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=mg（6R+\frac{1}{10}R）sinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{83}{5}gRsinθ}$
答：（1）調(diào)整手柄P的下拉距離，可以使彈珠Q經(jīng)BC軌道上的C點(diǎn)射出，落在斜面底邊上的不同位置，其中與A的最近距離是$3\sqrt{2}R+R$；
（2）若彈珠Q落在斜面底邊上離A的距離為10R，它在這次運(yùn)動(dòng)中經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為$\frac{7}{2}mgsinθ$；
（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，彈珠Q離開(kāi)彈簧前的最大速度是$\sqrt{\frac{83}{5}gRsinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)基本公式以及機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，知道彈珠離開(kāi)彈簧前，在平衡位置時(shí)，速度最大，難度較大．