Question

3．質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為3L，在離P球L處有一個光滑固定軸O，如圖所示，現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求：
（1）小球P的速度大小
（2）在此過程中小球P機械能的變化量
（3）要使Q球能做完整的圓周運動，給Q球的初速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）在Q球順時針擺動到最低位置的過程中，對于兩球和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，由此列式求解．
（2）根據(jù)動能和重力勢能的變化，求P球機械能的變化．
（3）要使Q球能做完整的圓周運動，Q轉(zhuǎn)到最高點時速度至少為零，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求解．

解答 解：（1）對于P球和Q球組成的系統(tǒng)，只有重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，則有：
2mg•2L-mgL=$\frac{1}{2}$mv_P²+$\frac{1}{2}$•2mv_Q²
兩球共軸轉(zhuǎn)動，角速度大小始終相等，由v=rω得：v_Q=2v_P；
聯(lián)立解得：v_P=$\frac{\sqrt{6gL}}{3}$
（2）小球P機械能的變化量為：
△E_P=mgL+$\frac{1}{2}$mv_P²=$\frac{4}{3}$mgL
（3）要使Q球能做完整的圓周運動，給Q球的初速度至少為v．當(dāng)Q轉(zhuǎn)到最高點時速度為零恰好能做完整的周期運動，由系統(tǒng)的機械能守恒得：
2mg•2L=mgL+$\frac{1}{2}$m（$\frac{1}{2}$v）²+$\frac{1}{2}$•2mv² 
解得：v=$\frac{2\sqrt{6gL}}{3}$ 
答：（1）小球P的速度大小是$\frac{\sqrt{6gL}}{3}$；
（2）在此過程中小球P機械能的變化量是$\frac{4}{3}$mgL．
（3）要使Q球能做完整的圓周運動，給Q球的初速度至少為$\frac{2\sqrt{6gL}}{3}$．

點評 本題是輕桿連接的問題，要抓住單個物體機械能不守恒，而系統(tǒng)的機械能守恒是關(guān)鍵．要掌握輕桿類型圓周運動的臨界速度，注意與輕繩類型的區(qū)別．