（25分）磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具。它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)。一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)與軌道脫離接觸。另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組（線圈）中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時(shí)間、空間作周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力。

    為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來(lái)由，我們求解下面的問題。

設(shè)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t和空間位置x變化規(guī)律為

式中、、均為已知常量，坐標(biāo)軸x與軌道平行。在任一時(shí)刻t，軌道平面上磁場(chǎng)沿x方向的分布是不均勻的，如圖所示。圖中Oxy平面代表軌道平面，“×”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙里，“? ”表示磁場(chǎng)的方向垂直O(jiān)xy平面指向紙外。規(guī)定指向紙外時(shí)B取正值。“×”和“? ”的疏密程度表示沿著x軸B的大小分布。一與軌道平面平行的具有一定質(zhì)量的金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中，已知與軌道垂直的金屬框邊MN的長(zhǎng)度為，與軌道平行的金屬框邊MQ的長(zhǎng)度為d，金屬框的電阻為R，不計(jì)金屬框的電感。

1．試求在時(shí)刻t，當(dāng)金屬框的MN邊位于x處時(shí)磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力，設(shè)此時(shí)刻金屬框沿x軸正方向移動(dòng)的速度為。

2.試討論安培力的大小與金屬框幾何尺寸的關(guān)系。

解析：

1．題給的磁場(chǎng)隨時(shí)間和空間的變化具有周期性，在某時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為

   

在時(shí)刻，磁場(chǎng)的空間分布為

        

比較上面兩式，不難看出，和這兩個(gè)時(shí)刻的磁場(chǎng)的空間分布規(guī)律是相同的，只是時(shí)刻原位于處的磁場(chǎng)，經(jīng)歷時(shí)間，在時(shí)刻，出現(xiàn)在處．即整個(gè)磁場(chǎng)的分布經(jīng)時(shí)間間隔沿x軸的正方向平移了一段距離

   

平移速度

        （1）

平移速度為恒量．由此可見，題給出的磁場(chǎng)可視為一在空間按余弦規(guī)律分布的非均勻磁場(chǎng)區(qū)域以速度沿x軸的正方向平移．如果金屬框移動(dòng)的速度小于磁場(chǎng)區(qū)域平移的速度，那么通過金屬框的磁通將隨時(shí)間發(fā)生變化，從而在金屬框中產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流將受到磁場(chǎng)的安培力作用．

由題已知，在時(shí)刻t，金屬框移動(dòng)的速度為，金屬框MN邊位于坐標(biāo)x處，PQ邊位于坐標(biāo)處．設(shè)此時(shí)金屬框的磁通為（規(guī)定由紙內(nèi)到紙外為正）；經(jīng)過一很短的時(shí)間間隔，整個(gè)磁場(chǎng)分布區(qū)域向x方向移動(dòng)了一段距離，金屬框向x方向移動(dòng)了一段距離，其結(jié)果是：MN邊左側(cè)穿過面積為的磁通移進(jìn)了金屬框，PQ邊左側(cè)穿過面積為的磁通移出了金屬框，故在時(shí)刻，通過金屬框的磁通為

   

在時(shí)間間隔內(nèi)，通過金屬框的磁通增量為

        （2）

規(guī)定框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，由電磁感應(yīng)定律，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

        （3）

規(guī)定金屬框內(nèi)的感應(yīng)電流沿順時(shí)針方向（沿回路MNPQM方向)為正，可得t時(shí)刻的感應(yīng)電流為

        (4)

磁場(chǎng)對(duì)于上下兩邊NP和MQ的安培力的大小相等，方向相反，二者的合力為零．規(guī)定向右的力為正，則磁場(chǎng)作用于金屬框MN邊的安培力為；由于PQ邊和MN邊的電流方向相反，磁場(chǎng)作用于金屬框PQ邊的安培力為 ，故金屬框的安培力的合力

        （5）

由（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式及題給定的磁場(chǎng)分布規(guī)律，得

        （6）

利用三角學(xué)公式，得

    （7）

   

稱為安培力的幅度．從（7）式可以看出，安培力在的幅度內(nèi)隨時(shí)間變化，但其值不會(huì)小于零，表示磁場(chǎng)作用于金屬框的安培力始終向右．

2．討論安培力的大小與線框幾何尺寸的關(guān)系就是討論與線框幾何尺寸的關(guān)系．與金屬框長(zhǎng)度l的平方成正比，與金屬框的寬度d有關(guān)：

當(dāng)， 即   

              （8）

得   

        （9）

當(dāng)，即

        （10）

達(dá)最大值   

        （11）

當(dāng)d取其它值時(shí)，介于0與最大值之間．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

磁懸浮列車是一種高速交通工具，它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)：一個(gè)是懸浮系統(tǒng)，另一個(gè)是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)．驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如下：左圖是實(shí)驗(yàn)車與軌道示意圖，右圖是固定在實(shí)驗(yàn)車底部的金屬框與軌道間的運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的示意圖．水平地面上有兩根很長(zhǎng)的平行直導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間有垂直于水平面的等間距的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（每個(gè)磁場(chǎng)的寬度與金屬框的寬度相同），磁感應(yīng)強(qiáng)度B1、B2大小相同，相鄰磁場(chǎng)的方向相反，所有磁場(chǎng)同時(shí)以恒定速度v0沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)，這時(shí)實(shí)驗(yàn)車底部的金屬框?qū)?huì)受到向右的磁場(chǎng)力，帶動(dòng)實(shí)驗(yàn)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．

設(shè)金屬框總電阻R=1.6Ω，垂直于導(dǎo)軌的邊長(zhǎng)L=0.20m，實(shí)驗(yàn)車與金屬框的總質(zhì)量m=2.0kg，磁感應(yīng)強(qiáng)度B1=B2=B=1.0T，磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)速度v0=10m/s．回答下列問題：
（1）t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，求此時(shí)金屬框受到的磁場(chǎng)力的大小和方向；
（2）已知磁懸浮狀態(tài)下，實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為f1=0.20N，求實(shí)驗(yàn)車的最大速率vm；
（3）若將該實(shí)驗(yàn)車A與另外一輛質(zhì)量相等但沒有驅(qū)動(dòng)裝置的磁懸浮實(shí)驗(yàn)車P掛接，設(shè)A與P掛接后共同運(yùn)動(dòng)所受阻力恒為f2=0.50N．A與P掛接并經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后已達(dá)到了最大速度，這時(shí)撤去驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)，保留磁懸浮狀態(tài)，A與P所受阻力f2保持不變，那么撤去驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)后A和P還能滑行多遠(yuǎn)？

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：閱讀理解

磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具，它由兩個(gè)系統(tǒng)組成．一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力使車體在軌道上懸浮起來(lái)從而減小阻力．另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即利用磁場(chǎng)與固定在車體下部的感應(yīng)金屬線圈相互作用，使車體獲得牽引力，圖22就是這種磁懸浮列車電磁驅(qū)動(dòng)裝置的原理示意圖．即在水平面上有兩根很長(zhǎng)的平行軌道PQ和MN，軌道間有垂直軌道平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B．列車底部固定著繞有N匝閉合的矩形金屬線圈abcd（列車的車廂在圖中未畫出），車廂與線圈絕緣．兩軌道間距及線圈垂直軌道的ab邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)，兩磁場(chǎng)的寬度均與線圈的ad邊長(zhǎng)相同．當(dāng)兩磁場(chǎng)Bl和B2同時(shí)沿軌道方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈會(huì)受到向右的磁場(chǎng)力，帶動(dòng)列車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．已知列車車廂及線圈的總質(zhì)量為M，整個(gè)線圈的總電阻為R．
（1）假設(shè)用兩磁場(chǎng)同時(shí)水平向右以速度v0作勻速運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車，為使列車能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，列車所受的阻力大小應(yīng)滿足的條件；
（2）設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如使列車水平向右以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，求維持列車運(yùn)動(dòng)外界在單位時(shí)間內(nèi)需提供的總能量；
（3）設(shè)列車所受阻力大小恒為f，假如用兩磁場(chǎng)由靜止開始向右做勻加速運(yùn)動(dòng)來(lái)起動(dòng)列車，當(dāng)兩磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1時(shí)，列車正在向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)列車的速度為v1，求兩磁場(chǎng)開始運(yùn)動(dòng)到列車開始運(yùn)動(dòng)所需要的時(shí)間t0．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

（2008?天津）磁懸浮列車是一種高速低耗的新型交通工具．它的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如下模型，固定在列車下端的動(dòng)力繞組可視為一個(gè)矩形純電阻金屬框，電阻為R，金屬框置于xOy平面內(nèi)，長(zhǎng)邊MN長(zhǎng)為l平行于y軸，寬度為d的NP邊平行于x軸，如圖1所示．列車軌道沿Ox方向，軌道區(qū)域內(nèi)存在垂直于金屬框平面的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿Ox方向按正弦規(guī)律分布，其空間周期為λ，最大值為B0，如圖2所示，金屬框同一長(zhǎng)邊上各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，整個(gè)磁場(chǎng)以速度v0沿Ox方向勻速平移．設(shè)在短暫時(shí)間內(nèi)，MM、PQ邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化可以忽略，并忽略一切阻力．列車在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)作用下沿Ox方向加速行駛，某時(shí)刻速度為v（v＜v0）．
（1）簡(jiǎn)要敘述列車運(yùn)行中獲得驅(qū)動(dòng)力的原理；
（2）為使列車獲得最大驅(qū)動(dòng)力，寫出MM、PQ邊應(yīng)處于磁場(chǎng)中的什么位置及λ與d之間應(yīng)滿足的關(guān)系式；
（3）計(jì)算在滿足第（2）問的條件下列車速度為v時(shí)驅(qū)動(dòng)力的大�。�

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：閱讀理解

磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具，它是經(jīng)典電磁學(xué)與現(xiàn)代超導(dǎo)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物．磁懸浮列車具有兩個(gè)重要系統(tǒng)．一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力（可由超導(dǎo)電磁鐵提供）使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)與軌道脫離接觸．另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，就是在沿軌道安裝的繞組（線圈）中，通上勵(lì)磁電流，產(chǎn)生隨空間作周期性變化、運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固定在車體下部的感應(yīng)金屬框相互作用，使車體獲得牽引力．為了有助于了解磁懸浮列車的牽引力的來(lái)由，我們給出如下的簡(jiǎn)化模型，圖（甲）是實(shí)驗(yàn)車與軌道示意圖，圖（乙）是固定在車底部金屬框與軌道上運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)的示意圖．水平地面上有兩根很長(zhǎng)的平行直導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間有豎直（垂直紙面）方向等距離間隔的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Bl和B2，二者方向相反．車底部金屬框的寬度與磁場(chǎng)間隔相等，當(dāng)勻強(qiáng)磁場(chǎng)Bl和B2同時(shí)以恒定速度v0沿導(dǎo)軌方向向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬框也會(huì)受到向右的磁場(chǎng)力，帶動(dòng)實(shí)驗(yàn)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．設(shè)金屬框垂直導(dǎo)軌的邊長(zhǎng)L=0.20m、總電阻R=l.6Ω，實(shí)驗(yàn)車與線框的總質(zhì)量m=2.0kg，磁場(chǎng)Bl=B2=B=1.0T，磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)速度v0=10m/s．回答下列問題：
（1）設(shè)t=0時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)車的速度為零，求金屬框受到的磁場(chǎng)力的大小和方向；
（2）已知磁懸浮狀態(tài)下，實(shí)驗(yàn)車運(yùn)動(dòng)時(shí)受到恒定的阻力 f1=0.20N，求實(shí)驗(yàn)車的最大速率vm；
（3）實(shí)驗(yàn)車A與另一輛磁懸浮正常、質(zhì)量相等但沒有驅(qū)動(dòng)裝置的磁懸浮實(shí)驗(yàn)車P掛接，設(shè)A與P掛接后共同運(yùn)動(dòng)所受阻力f2=0.50N．A與P掛接并經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后的某時(shí)刻，撤去驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)磁場(chǎng)，設(shè)A和P所受阻力保持不變，求撤去磁場(chǎng)后A和P還能滑行多遠(yuǎn)？
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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

磁懸浮列車是一種高速運(yùn)載工具．它具有兩個(gè)重要系統(tǒng)：一是懸浮系統(tǒng)，利用磁力使車體在導(dǎo)軌上懸浮起來(lái)；另一是驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，在沿軌道上安裝的三相繞組中，通上三相交流電，產(chǎn)生隨時(shí)間和空間做周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)與固連在車體下端的感應(yīng)金屬板相互作用，使車體獲得牽引力．精英家教網(wǎng)
設(shè)圖中xOy平面代表軌道平面，x軸與軌道平行，現(xiàn)有一與軌道平面垂直的磁場(chǎng)正以速度v向-x方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)在t=0時(shí)，該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小隨空間位置x的變化規(guī)律為B=B0coskx（式中B0、k為已知常量），且在y軸處，該磁場(chǎng)垂直xOy平面指向紙里．與軌道平面平行的一金屬矩形框MNPQ處在該磁場(chǎng)中，已知該金屬框的MN邊與軌道垂直，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，固定在y軸上，MQ邊與軌道平行，長(zhǎng)度為d=
π
k
，金屬框的電阻為R，忽略金屬框的電感的影響．求：
（1）t=0時(shí)刻，金屬框中的感應(yīng)電流大小和方向；
（2）金屬框中感應(yīng)電流瞬時(shí)值的表達(dá)式；
（3）經(jīng)過t=
10π
kv
時(shí)間，金屬框產(chǎn)生的熱量；
（4）畫出金屬框受安培力F隨時(shí)間變化的圖象．

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