Question

（25分）如圖所示，有二平行金屬導軌，相距l，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）．質(zhì)量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導軌上，與導軌垂直．初始時刻， 金屬桿ab和cd分別位于x = x₀和x = 0處．假設導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L．今對金屬桿ab施以沿導軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速．設導軌足夠長，也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距，因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L是恒定不變的．桿與導軌之間摩擦可不計．求任意時刻兩桿的位置x_ab和x_cd以及由兩桿和導軌構(gòu)成的回路中的電流i三者各自隨時間t的變化關系。

Answer 1

解析：

解法Ⅰ：

當金屬桿ab獲得沿x軸正方向的初速v₀時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應電動勢，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路中會出現(xiàn)感應電流．由于回路具有自感系數(shù)，感應電流的出現(xiàn)，又會在回路中產(chǎn)生自感電動勢，自感電動勢將阻礙電流的增大，所以，雖然回路的電阻為零，但回路的電流并不會趨向無限大，當回路中一旦有了電流，磁場作用于桿ab的安培力將使ab桿減速，作用于cd桿的安培力使cd桿運動．

設在任意時刻t，ab桿和cd桿的速度分別為v₁和v₂（相對地面參考系S），當v₁、v₂為正時，表示速度沿x軸正方向；若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和電動勢的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運動而產(chǎn)生的感應電動勢

                                          (1)

當回路中的電流i隨時間的變化率為時，回路中的自感電動勢

                                                  (2)

根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有

                                                  (3)

金屬桿在導軌上運動過程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動．設系統(tǒng)質(zhì)心的速度為V_C，有

                                               (4)

得

                                                    (5)

V_C方向與v₀相同，沿x軸的正方向．

現(xiàn)取一新的參考系，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標原點，取坐標軸與x軸平行．設相對系，金屬桿ab的速度為u，cd桿的速度為，則有

                                                 (6)

                                                (7)

因相對系，兩桿的總動量為零，即有

                                             (8)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得

                                                 (9)

在系中，在t時刻，金屬桿ab坐標為，在t＋Dt時刻，它的坐標為，則由速度的定義

                                                        (10)

代入 (9) 式得                               (11)

若將視為i的函數(shù)，由（11）式知為常數(shù)，所以與i的關系可用一直線方程表示

                                             (12)

式中b為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在t＝0時刻，金屬桿ab在系中的坐標＝，這時i = 0，故得

                                          (13)

或                                         (14)

表示t＝0時刻金屬桿ab的位置．表示在任意時刻t，桿ab的位置，故就是桿ab在t時刻相對初始位置的位移，用X表示，

                                    (15)

當X>0時，ab桿位于其初始位置的右側(cè)；當X<0時，ab桿位于其初始位置的左側(cè)．代入(14)式，得

                                     (16)

這時作用于ab桿的安培力

                                                              (17)

ab桿在初始位置右側(cè)時，安培力的方向指向左側(cè)；ab桿在初始位置左側(cè)時，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)．金屬桿ab的運動是簡諧振動，振動的周期

                                                                 (18)

在任意時刻t， ab桿離開其初始位置的位移

                                                              (19)

A為簡諧振動的振幅，j 為初相位，都是待定的常量．通過參考圓可求得ab桿的振動速度

          (20)

 (19)、(20)式分別表示任意時刻ab桿離開初始位置的位移和運動速度．現(xiàn)已知在t＝0時刻，ab桿位于初始位置，即

X = 0

速度

故有

解這兩式，并注意到(18)式得

                                                      (21)

                    (22)

由此得ab桿的位移

（23）

由 (15) 式可求得ab桿在系中的位置

                    (24)

因相對質(zhì)心，任意時刻ab桿和cd桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在系中，cd桿的位置

         (25)

相對地面參考系S，質(zhì)心以的速度向右運動，并注意到（18）式，得ab桿在地面參考系中的位置

            (26)

cd桿在S系中的位置

       （27）

回路中的電流由 (16) 式得

 (28)

解法Ⅱ：

當金屬桿在磁場中運動時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應電動勢，回路中出現(xiàn)電流時，兩金屬桿都要受到安培力的作用，安培力使ab桿的速度改變，使cd桿運動．設任意時刻t，兩桿的速度分別為v₁和v₂（相對地面參考系S），若規(guī)定逆時針方向為回路電動勢和電流的正方向，則由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路中，因桿在磁場中運動而出現(xiàn)的感應電動勢為

                           (1’)

令u表示ab桿相對于cd桿的速度，有

                                                             (2’)

當回路中的電流i變化時，回路中有自感電動勢E_L，其大小與電流的變化率成正比，即有

                                                         (3’)

根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有

                                                          

由式(2’)、(3’)兩式得

                                                         (4’)

設在t時刻，金屬桿ab相對于cd桿的距離為，在t＋Dt時刻，ab相對于cd桿的距離為＋，則由速度的定義，有

                                                        (5’)

代入 () 式得

                                                        (6’)

若將視為i的函數(shù)，由(6’)式可知，為常量，所以與i的關系可以用一直線方程表示，即

                                                       (7’)

式中b為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在t＝0時刻，金屬桿ab相對于cd桿的距離為，這時i = 0，故得

                                                      (8’)

或                                                (9’)

表示t＝0時刻金屬桿ab相對于cd桿的位置．表示在任意時刻t時ab桿相對于cd桿的位置，故就是桿ab在t時刻相對于cd桿的相對位置相對于它們在t＝0時刻的相對位置的位移，即從t＝0到t＝t時間內(nèi)ab桿相對于cd桿的位移

                                  (10')

于是有

                                      (11’)

任意時刻t，ab桿和cd桿因受安培力作用而分別有加速度a_ab和a_cd，由牛頓定律有

                                                       (12’)

                                                         (13’)

兩式相減并注意到()式得

                       (14’)

式中為金屬桿ab相對于cd桿的加速度，而X是ab桿相對cd桿相對位置的位移．是常數(shù)，表明這個相對運動是簡諧振動，它的振動的周期

                                     (15’)

在任意時刻t，ab桿相對cd桿相對位置相對它們初始位置的位移

                                                        (16’)

A為簡諧振動的振幅，j 為初相位，都是待定的常量．通過參考圓可求得X隨時間的變化率即速度

                         (17’)

現(xiàn)已知在t＝0時刻，桿位于初始位置，即X = 0，速度

故有

解這兩式，并注意到(15’) 式得

                                            

由此得

 (18’)

因t = 0時刻，cd桿位于x = 0 處，ab桿位于x = x₀ 處，兩者的相對位置由x₀表示；設t時刻，cd桿位于x = x_cd 處，ab桿位于x = x_ab處，兩者的相對位置由x_ab－x_cd表示，故兩桿的相對位置的位移又可表示為

X = x_ab－x_cd－x₀                                                 (19’)

所以                                                                     

             (20’)

(12’)和(13’)式相加,

得

由此可知，兩桿速度之和為一常數(shù)即v₀，所以兩桿的位置x_ab和x_cd之和應為

x_ab＋x_cd = x₀＋v₀t                                                (21’)

由(20’)和(21’)式相加和相減，注意到(15’)式，得

                     （22’）

              （23’）

由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中電流

                               （24’）

評分標準：本題25分．

解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．

解法Ⅱ的評分可參照解法Ⅰ評分標準中的相應式子給分．