Question

6．如圖所示，天文學(xué)家觀測哈雷慧星的周期是75年，離太陽最近的距離是8.9×10¹⁰m，它離太陽的最遠(yuǎn)距離不能被測出．若太陽的質(zhì)量M=2.0×10³⁰kg，試計算哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值．（太陽系中，$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k的k可取3.354×10¹⁸m³/s²）

Answer 1

分析 比較地球與彗星，由開普勒第三定律$\frac{a^3}{T^2}=k$求得半長軸，而半長軸的二倍等于最遠(yuǎn)距離加最近距離，可求得最遠(yuǎn)距離；最后根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得到哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值．

解答 解：設(shè)彗星離太陽的最近距離為l₁，最遠(yuǎn)距離為l₂，則軌道半長軸為：
$a=\frac{{{l_1}+{l_2}}}{2}$-----①
根據(jù)開普勒第三定律有：
$\frac{a^3}{T^2}=k$------②
則由①②求得：②彗星離太陽最遠(yuǎn)的距離是：${l_2}=\root{3}{{8K{T_2}}}-{l_1}$；
代入數(shù)據(jù)得：${l_2}=5.225×1{0^{12}}m$；
萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$∝$\frac{1}{{r}^{2}}$
故最小加速度與最大加速度的比值：
$\frac{{a}_{小}}{{a}_{大}}$=$\frac{{l}_{1}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$=$（\frac{8.9×1{0}^{10}}{5.225×1{0}^{12}}）^{2}$=2.9×10^-4
答：哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值為2.9×10^-4．

點(diǎn)評 本題涉及橢圓軌道，要采用開普勒定律分析，同時要結(jié)合牛頓第二定律判斷加速度情況，不難．