Question

20．如圖所示，LMN是豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道，MN水平且足夠長(zhǎng)，LM下端與MN相切．質(zhì)量為m的小球B與一輕彈簧相連，并靜止在水平軌道上，質(zhì)量為2m的小球A從LM上距水平軌道高為h處由靜止釋放，在A球進(jìn)入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧但不粘連．設(shè)小球A通過(guò)M點(diǎn)時(shí)沒(méi)有機(jī)械能損失，重力加速度為g．求：
（1）A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v₀；
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能E_P；
（3）A、B兩球最終的速度v_A、v_B的大小．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v₀；
（2）當(dāng)A、B速度相同時(shí)相距最近，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由系統(tǒng)的能量守恒和動(dòng)量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢(shì)能E_P；
（3）由動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出最終A、B兩球的速度．

解答 解：（1）對(duì)A球下滑的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
2mgh=$\frac{1}{2}$×2m${v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{2gh}$
（2）當(dāng)A球進(jìn)入水平軌道后，A、B兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)A、B相距最近時(shí)，兩球速度相等，彈簧的彈性勢(shì)能最大．由動(dòng)量守恒定律可得：
2mv₀=（2m+m）v，v=$\frac{2}{3}$v₀=$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$；
由能量守恒定律得：
2mgh=$\frac{1}{2}$（2m+m）v²+E_pm，
E_pm=$\frac{2}{3}$mgh；
（3）當(dāng)A、B相距最近之后，由于彈力的相互作用，它們將會(huì)相互遠(yuǎn)離，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，它們之間的相互作用力可視為零，它們就達(dá)到最終的速度，該過(guò)程中，A、B兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量也守恒．由動(dòng)量守恒定律可得：2mv₀=2mv_A+mv_B，
由能量守恒定律可得：$\frac{1}{2}$×2m${v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2m${v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
解得：v_A=$\frac{1}{3}$v₀=$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$，v_B=$\frac{4}{3}$v₀=$\frac{4}{3}\sqrt{2gh}$．
答：（1）A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v₀是$\sqrt{2gh}$．
（2）彈簧的最大彈性勢(shì)能E_P是$\frac{2}{3}$mgh．
（3）A、B兩球最終的速度v_A、v_B的大小分別為$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$和$\frac{4}{3}\sqrt{2gh}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握碰撞的基本規(guī)律：動(dòng)量守恒和能量守恒，明確臨界條件，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律處理這類問(wèn)題．