Question

13．一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星到地心的距離為r，已知引力常量G、地球半徑為R、地球表面重力加速度為g，不考慮球地球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）地球質(zhì)量大�。�
（2）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力的大�。�
（3）衛(wèi)星的動(dòng)能大小．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等由重力加速度和地球半徑及引力常量求得地球質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力公式計(jì)算地球?qū)πl(wèi)星的引力大小；
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得衛(wèi)星的線速度，再根據(jù)動(dòng)能表達(dá)式求得衛(wèi)星動(dòng)能的大�。�

解答 解：（1）在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球質(zhì)量為：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力為：
F=$G\frac{mM}{{r}^{2}}$=$\frac{mg{R}^{2}}{{r}^{2}}$
（3）衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力由萬(wàn)有引力提供有：
$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
所以衛(wèi)星的動(dòng)能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{Fr}{2}$=$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$
答：（1）地球質(zhì)量大小為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力的大小為$\frac{mg{R}^{2}}{{r}^{2}}$；
（3）衛(wèi)星的動(dòng)能大小為$\frac{mg{R}^{2}}{2r}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用問(wèn)題主要是建立兩類模型：一是星球表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力．