Question

16．如圖所示，在第一象限有向下的勻強(qiáng)電場，在第四象限有垂直紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場．在y軸上坐標(biāo)為（0，b）的M點(diǎn)，質(zhì)量為m，電荷量為q的正點(diǎn)電荷（不計(jì)重力），以垂直于y軸的初速度v₀水平向右進(jìn)入勻強(qiáng)電場．恰好從x軸上坐標(biāo)為（2b，0）的N點(diǎn)進(jìn)入有界磁場．磁場位于y=-0.8b和x=4b和橫軸x、縱軸y所包圍的矩形區(qū)域內(nèi)．最終粒子從磁場右邊界離開．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最大值；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B最小值時，粒子能否從（4b，-0.8b）處射出？畫圖說明．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做的是類平拋運(yùn)動，根據(jù)分位移公式和牛頓第二定律列式，求解場強(qiáng)E的大�。�
（2）由動能定理求出粒子進(jìn)入磁場時的速度大小，由速度的分解得到速度的方向．粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動．磁場越強(qiáng)，粒子運(yùn)動的半徑越小，從右邊界射出的最小半徑即從磁場右上角（4b，0）處射出，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度強(qiáng)B的最大值．
（3）畫出粒子運(yùn)動的軌跡，分析粒子能否從（4b，-0.8b）處射出．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動：
豎直位移為 y=b=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
水平位移為 x=2b=v₀t；
其加速度 a=$\frac{qE}{m}$
可得電場強(qiáng)度 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qb}$
（2）根據(jù)動能定理，設(shè)粒子進(jìn)入磁場時的速度大小為v
有$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=qEb
代入E可得 v=$\sqrt{2}{v}_{0}$
v與正x軸的夾角θ有 cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以θ=45°
粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 B=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qr}$
磁場越強(qiáng)，粒子運(yùn)動的半徑越小，從右邊界射出的最小半徑即從磁場右上角（4b，0）處射出，由幾何關(guān)系得：
  r_min=$\frac{4b-2b}{2sinθ}$=$\sqrt{2}$b
可得 B_max=$\frac{m{v}_{0}}{qb}$
（3）不能．圖畫如下．

答：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qb}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最大值為$\frac{m{v}_{0}}{qb}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B最小值時，粒子不能從（4b，-0.8b）處射出．

點(diǎn)評 本題為電荷在電場和磁場中運(yùn)動的題目，在電場中要能熟練運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究，而在磁場中，注意找出圓心和半徑，畫出軌跡，結(jié)合幾何知識解答．