Question

2．如圖所示，在傾角θ=37°的斜面下端用一立柱固定一輕彈簧，彈簧上端放一質(zhì)量m=2kg，帶電量q=+2×10^-5c的物塊（彈簧未與物塊相連接）．物塊靜止于斜面的A點(diǎn)時(shí)，彈簧被一細(xì)線鎖定，彈性勢(shì)能E_P=54J．B點(diǎn)為彈簧的原長(zhǎng)位置，AB段斜面光滑，AB長(zhǎng)度L₁=1.5m；BC段粗糙，BC長(zhǎng)度L₂=1.6m．某時(shí)刻剪斷細(xì)線，物塊將沿斜面上滑，到達(dá)C點(diǎn)后，通過(guò)一圓弧軌道（只改變物塊的速度方向而不改變大�。┻M(jìn)入水平軌道CD部分運(yùn)動(dòng)，CD的長(zhǎng)度L₃=14m．在水平軌道CD上有一水平方向成45°斜向右下方的勻強(qiáng)電場(chǎng)，物塊離開(kāi)D后從高為H=4.05m的平臺(tái)飛出，恰好從I處無(wú)碰撞地進(jìn)入粗糙的圓弧軌道內(nèi)，已知過(guò)I處的半徑和豎直方向夾角為β=37°，最后沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)并剛好能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)J．物塊和BC、CD段的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，圓板軌道的半徑R=1m．（物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，物塊帶電量始終不變，g=10m/s²）求：
（1）物塊在BC上運(yùn)動(dòng)的加速度大小是多少？
（2）CD部分電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是多少？（結(jié)果可用根號(hào)表示）
（3）從B到J的過(guò)程中摩擦生熱是多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可求出物塊的加速度；
（2）先由功能關(guān)系求出物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度；然后分析物塊到達(dá)I點(diǎn)時(shí)的速度，由豎直方向的運(yùn)動(dòng)求出物塊到達(dá)I時(shí)的豎直方向的分速度，然后由速度的合成與分解求出水平方向的分速度，即為物塊到達(dá)D時(shí)的速度．
最后結(jié)合物塊在水平方向的受力分析與動(dòng)能定理即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（3）先分別求出物塊在BC段和在CD段克服摩擦力做的功；然后由豎直方向的圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)求出物塊在J點(diǎn)的速度，由功能關(guān)系求出物塊在I到J的過(guò)程中克服摩擦力做的功，最后求和即可．

解答 解：（1）物塊在BC段受到重力、支持力和摩擦力的作用，受力如圖，則：f₁=μmgcosθ=0.5×2×10×0.8=8N

物塊的加速度：$a=\frac{mgsinθ+{f}_{1}}{m}$
代入數(shù)據(jù)得：a=10m/s²
（2）A到C的過(guò)程中彈簧的彈力做正功，重力與摩擦力做負(fù)功，由功能關(guān)系得：
${E}_{P}=mg（{L}_{1}+{L}_{2}）cosθ+f•{L}_{2}cosθ+\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_C=2m/s
D到I的過(guò)程中，物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向：${v}_{y}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2×4.05×10}=9$m/s
沿水平方向的分速度：${v}_{x}=\frac{{v}_{y}}{tanθ}=\frac{9}{tan37°}=12$m/s
物體到達(dá)I點(diǎn)時(shí)，沿水平方向的分速度即為到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度，所以：v_D=v_x=12m/s
物塊在CD之間的受力如圖，則：${f}_{2}=μ（mg+\frac{\sqrt{2}}{2}qE）$
C到D的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：$\frac{\sqrt{2}}{2}qE•{L}_{3}-{f}_{2}{L}_{3}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立以上方程，解得：$E=2\sqrt{2}×1{0}^{6}$N/C
（3）B到C的過(guò)程中克服摩擦力做的功：W₁=f₁L₂
C到D的過(guò)程中克服摩擦力做的功：W₂=f₂L₃
物塊到達(dá)I時(shí)的速度：${v}_{I}=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{9}^{2}+1{2}^{2}}=15$m/s
物塊恰好過(guò)J點(diǎn)，則在J點(diǎn)時(shí)重力恰好提供向心力，則：mg=$\frac{m{v}_{J}^{2}}{R}$
I到J的過(guò)程中，重力與摩擦力做功，則：$-mgR（1+cosθ）-{W}_{3}=\frac{1}{2}m{v}_{J}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{I}^{2}$
在從B到J的過(guò)程中摩擦生熱：Q=W₁+W₂+W₃
聯(lián)立以上方程，代入數(shù)據(jù)解得：Q=611.8J
答：（1）物塊在BC上運(yùn)動(dòng)的加速度大小是10m/s²；（2）CD部分電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$2\sqrt{2}$N/C；（3）從B到J的過(guò)程中摩擦生熱是611.8J．

點(diǎn)評(píng) 考查彈力作功與彈性勢(shì)能變化關(guān)系，重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系，摩擦力做功導(dǎo)致彈簧與物塊的機(jī)械能在變化．并學(xué)會(huì)由受力分析來(lái)確定運(yùn)動(dòng)情況．