Question

2．在天文觀測(cè)中，發(fā)現(xiàn)一顆與其它天體相距較遠(yuǎn)的球形天體A，它有一靠近表面飛行的衛(wèi)星a；另一顆與其它天體相距較遠(yuǎn)的球形天體B，它也有一靠近表面飛行的衛(wèi)星b，測(cè)得兩顆衛(wèi)星a、b分別環(huán)繞天體A、B的周期相等．以下說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 天體A、B的質(zhì)量一定相等
• B． 天體A、B的密度一定相等
• C． 天體A、B的第一宇宙速度一定相等
• D． 天體A和天體B表面附近物體的重力加速度之比為天體A、B的半徑之比

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞球形天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得出天體的質(zhì)量、天體密度、第一宇宙速度、重力加速度的表達(dá)式，從而進(jìn)行比較．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得天體質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，由于天體A、B的半徑關(guān)系未知，則無(wú)法判斷質(zhì)量是否一定相等，故A錯(cuò)誤．
B、天體的密度為：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，兩顆衛(wèi)星a、b分別環(huán)繞天體A、B的周期相等，則天體A、B的密度一定相等，故B正確．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4ρπ{R}^{2}}{3}}$，因?yàn)锳、B的半徑關(guān)系未知，無(wú)法判斷第一宇宙速度一定相等，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}ρGπR$，可知天體A和天體B表面附近物體的重力加速度之比為天體A、B的半徑之比，故D正確．
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟練應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合處理這類問(wèn)題．