Question

下面為磁動(dòng)力過(guò)山車坡道示意圖，由兩根平行的長(zhǎng)直導(dǎo)軌固定成傾角為θ=53°、寬度為l=1.0m的斜面．垂直于斜面的等寬度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，B₁=B₂=1T，方向相反，兩磁場(chǎng)始終以v₀=7.25m/s的速度沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)．一電阻為R=0.1Ω、邊長(zhǎng)也為l、質(zhì)量m=10.0kg的正方形線圈abcd置于上述磁場(chǎng)中（ad、bc邊與軌道垂直，線圈寬度與每個(gè)磁場(chǎng)寬度相等），當(dāng)兩磁場(chǎng)沿斜面向上運(yùn)動(dòng)時(shí)線圈也會(huì)受到沿斜面向上的磁場(chǎng)力而沿斜面運(yùn)動(dòng)．設(shè)線圈運(yùn)動(dòng)中所受到的阻力恒為f=0.1mg，且線圈始終處于懸浮狀態(tài)，（sin53°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）設(shè)t=0時(shí)線圈的速度為零且正在斜面上某處，求此時(shí)線圈的加速度a₀（此時(shí)運(yùn)動(dòng)阻力為零）．
（2）求線圈能達(dá)到的最大速率v_m．

Answer 1

分析：（1）先求出在t=0時(shí)，線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出線圈中的電流，進(jìn)而求出線圈所受安培力，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度；
（2）當(dāng)線圈做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速率最大，求出此時(shí)線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出線圈中的電流，進(jìn)而求出線圈所受安培力，根據(jù)線圈所受合力為0列式即可求解最大速度．

解答：解：（1）在t=0時(shí)，線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=2BLv₀=14.5V
線圈中電流大小為：I=

E

R

=1.45×10-2A
線圈所受安培力：F=2BIL=2.9×10²
線圈的加速度：a0=

F-mgsinθ

m

=21m/s2     
（3）當(dāng)線圈做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速率最大，此時(shí)線圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E′=2BL（v₀-v_m）                        
線圈中電流大小為：I′=

E′

R

=

2BL(v0-vm)

R

                            
線圈所受安培力：F′=2BI′L=

4B2L2(v0-vm)

R

                      
線圈所受合力為0，有：F′=mgsinθ+f                             
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=5m/s               
答：（1）設(shè)t=0時(shí)線圈的速度為零且正在斜面上某處，此時(shí)線圈的加速度為21m/s²．
（2）線圈能達(dá)到的最大速率為5m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題是理論聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，與磁懸浮列車模型類似，關(guān)鍵要注意磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，線框相對(duì)于磁場(chǎng)向下運(yùn)動(dòng)，而且上下兩邊都切割磁感線，產(chǎn)生兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)邊都受安培力．