Question

8．如圖所示，微粒A位于一定高度處，其質(zhì)量m=1.0×10^-4kg，帶電荷量q=+1.0×10^-6C，塑料長方體空心盒子B位于水平地面上，與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.1．B上表面的下方存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E=2×10³N/C，B上表面的上方存在著豎直向下的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為0.5E，B上表面開有一系列略大于A的小孔，孔間距滿足一定的關(guān)系，使得A進(jìn)出B的過程中始終不渝B接觸，當(dāng)A以v₁=1m/s的速度從孔1豎直向下進(jìn)入B的瞬間，B恰以v₂=0.6m/s的速度向右滑行，設(shè)B足夠長，足夠高且上表面的厚度不計，取g=10m/s²，A恰能順次從各個小孔進(jìn)出B，試求：

（1）從A第一次進(jìn)入B至B停止運動的過程中，B通過的總路程s；
（2）B上至少要開多少個小孔，才能保證A始終不與B接觸；
（3）從右到左，B上表面各相鄰小孔之間的距離分別為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)B所受合外力，求得加速度，然后由勻減速位移公式求得總路程；
（2）根據(jù)A球在上表面上方和下方的受力求得加速度，然后根據(jù)勻變速運動規(guī)律求得運動時間，分別求得每次每次經(jīng)過孔的時間；再由（1）求得B運動的時間，即可聯(lián)立求解孔的數(shù)量；
（3）由（2）得到經(jīng)過每個孔的時間，根據(jù)B做勻減速運動，由位移公式求得孔間距．

解答 解：（1）B受到的合外力即摩擦力f=μmg=1.0×10^-4N，所以，B做勻減速運動，加速度為：$a=\frac{f}{m}=1m/{s}^{2}$；
那么，從A第一次進(jìn)入B至B停止運動的過程中，B通過的總路程為：$s=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2a}=0.18m$；
（2）A在B上表面上方，只受重力為：G=mg=1.0×10^-3N，和電場力為：${F}_{1}=0.5qE=1.0×1{0}^{-3}N$，故合外力為：${F}_{合1}={F}_{1}+G=2.0×1{0}^{-3}N$，方向豎直向下；
所以，A在B上表面上方的加速度為：${a}_{1}=\frac{{F}_{合1}}{m}=20m/{s}^{2}$；那么，A每次穿出B到進(jìn)入B的過程，在B上方運動的時間為：${t}_{1}=2\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=0.1s$；
A在B上表面下方，只受重力G=mg=1.0×10^-3N，和電場力${F}_{2}=qE=2.0×1{0}^{-3}N$，故合外力${F}_{合2}={F}_{2}-G=1.0×1{0}^{-3}N$，方向豎直向上；
所以，A在B上表面下方的加速度${a}_{2}=\frac{{F}_{合2}}{m}=10m/{s}^{2}$；那么，A每次進(jìn)入B到穿出B的過程，在B中運動的時間${t}_{2}=2\frac{{v}_{1}}{{a}_{2}}=0.2s$；
那么設(shè)A從孔1進(jìn)入B時的時間為t，則第n次從孔2n-1進(jìn)入B的時間為t_2n-1=（n-1）（t₁+t₂）=0.3（n-1）s=0.3n-0.3（s），n=1，2，3，…
A第n次從第2n個孔出來的時間為t_2n=t₂+（n-1）（t₁+t₂）=0.3n-0.1，n=1，2，3，…
那么，由（1）可知，B運動的時間$t=\frac{{v}_{2}}{a}=0.6s$=0.3×（3-1）s；
故A可進(jìn)入B3次，離開B2次，所以，要保證小球始終不與B相碰，B上的小孔個數(shù)至少為5；
（3）由于B向右做勻減速直線運動，經(jīng)0.6s速度減為零，
那么，孔3距孔1的距離為${S}_{3}=0.6×0.3-\frac{1}{2}×1×{0.3}^{2}（m）=0.135m$，孔5距孔1的距離為${S}_{5}=0.6×0.6-\frac{1}{2}×1×{0.6}^{2}（m）=0.18m$
孔2距孔1的距離為${S}_{2}=0.6×0.2-\frac{1}{2}×1×{0.2}^{2}（m）=0.1m$，孔4距孔1的距離為${S}_{4}=0.6×0.5-\frac{1}{2}×1×{0.5}^{2}（m）=0.175m$
所以，從右到左，B上表面各相鄰小孔之間的距離分別為s₁=S₂=0.1m，s₂=S₃-S₂=0.035m，s₃=S₄-S₃=0.04m，s₄=S₅-S₄=0.005m；
答：（1）從A第一次進(jìn)入B至B停止運動的過程中，B通過的總路程s為0.18m；
（2）B上至少要開5個小孔，才能保證A始終不與B接觸；
（3）從右到左，B上表面各相鄰小孔之間的距離分別為0.1m，0.035m，0.04m，0.005m．

點評 物體運動學(xué)問題中，一般分析物體的運動狀態(tài)得到加速度的表達(dá)式，然后對物體進(jìn)行受力分析求得合外力，最后利用牛頓第二定律聯(lián)立求解即可．