Question

如圖19－12所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B點，C點是最低點，圓心角∠BOC＝37°，D點與圓心O等高，圓弧軌道半徑R＝1.0 m，現(xiàn)在一個質(zhì)量為m＝0.2 kg可視為質(zhì)點的小物體，從D點的正上方E點處自由下落，DE距離h＝1.6 m，小物體與斜面AB之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s².求：

圖19－12

(1)小物體第一次通過C點時軌道對小物體的支持力F_N的大��；

(2)要使小物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少要多長；

(3)若斜面已經(jīng)滿足(2)中的要求，小物體從E點開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運動，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大�。�

Answer 1

解析：(1)小物體從E到C，由機械能守恒定律得

mg(h＋R)＝mv�、�

在C點，由牛頓第二定律得：F_N－mg＝m�、�

聯(lián)立①②解得F_N＝12.4 N.

(2)從E→D→C→B→A過程，由動能定理得

W_G－W_阻＝0�、�

W_G＝mg[(h＋Rcos37°)－L_ABsin37°]�、�

W_阻＝μmgcos37°L_AB　⑤

聯(lián)立③④⑤解得L_AB＝2.4 m.

(3)因為mgsin37°>μmgcos37°(或μ<tan37°)，

所以，小物體不會停在斜面上，小物體最后以C為中心，B為一側(cè)最高點沿圓弧軌道做往返運動．

從E點開始直至穩(wěn)定，系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量，

Q＝ΔE�、�

ΔE＝mg(h＋Rcos37°)�、�

聯(lián)立⑥⑦解得Q＝4.8 J.

答案：(1)12.4 N　(2)2.4 m　(3)4.8 J