Question

6．如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m的AB斜面傾角為θ=37°，將一勁度系數(shù)為k=60N/m的輕質(zhì)彈簧的上端固定在AB上端的固定板上，彈簧的原長(zhǎng)為x₀=0.2m，平行于斜面的細(xì)線穿過(guò)固定板和彈簧跨過(guò)定滑輪將小滑塊和鐵球連接，小滑塊與彈簧接觸但不相連，不計(jì)繩子與固定板及滑輪間的摩擦，小滑塊質(zhì)量為m=1kg，鐵球質(zhì)量為M=1.2kg，滑塊與AB軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{3}{8}$（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力），斜面底端與一段半徑為R=0.5m的光滑圓弧BCD在B點(diǎn)相切連接，圓弧的D點(diǎn)切線銜接另一個(gè)光滑斜面（足夠長(zhǎng)），（g=10m/s²，sin37°=0.6）．則：
（1）初始時(shí)刻能使滑塊保持靜止，求彈簧壓縮量x的范圍；
（2）若初始時(shí)刻彈簧壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能EP=0.075J，且初始時(shí)刻滑塊剛好不上滑，斷開(kāi)滑塊與繩子的連接，求以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊與斜面因摩擦而生成的熱量Q．
（3）在第二問(wèn)中滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)求小滑塊對(duì)C點(diǎn)壓力的最小值？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)滑塊剛要上滑時(shí)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，方向向下，受力平衡，根據(jù)平衡條件列式，當(dāng)滑塊剛要下滑時(shí)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，方向向上，根據(jù)平衡條件列式，進(jìn)而求出范圍；
（2）滑塊釋放后在兩斜面及圓弧間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因摩擦生熱消耗能量，每次上升到AB面的高度逐漸降低，最終在BD間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而到B點(diǎn)時(shí)速度為零，根據(jù)能量守恒求解；
（3）對(duì)C點(diǎn)產(chǎn)生最小壓力時(shí)為經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小的時(shí)候，根據(jù)動(dòng)能定理以及向心力公式列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）當(dāng)滑塊剛要上滑時(shí)，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，受力平衡，則有：
T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₁=0.05m
當(dāng)滑塊剛要下滑時(shí)：T+μmg•cosθ=Kx₂+mg•sinθ，
T=Mg，
解得：x₂=0.15m
要使滑塊靜止彈簧的壓縮量的范圍是0.05m≤x≤0.15m，
（2）初始時(shí)刻彈簧壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_P=0.075 J，滑塊釋放后在兩斜面及圓弧間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因摩擦生熱消耗能量，每次上升到AB面的高度逐漸降低，最終在BD間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而到B點(diǎn)時(shí)速度為零，因滑塊剛好不上滑時(shí)：T=Kx₁+μmg•cosθ+mg•sinθ，T=Mg，所以x₁=0.05mE_P+mg（L-x₀+x₁）sinθ=Q，所以Q=5.175J
（3）根據(jù)能量守恒：對(duì)C點(diǎn)產(chǎn)生最小壓力時(shí)為經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小的時(shí)候，即最終滑塊在BD間往復(fù)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)．設(shè)滑塊在C點(diǎn)收到的支持力為N，$mgR（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v_c}^2$
$N-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：N=14N
根據(jù)牛頓第三定律：C點(diǎn)收到的壓力為14N
答：（1）初始時(shí)刻能使滑塊保持靜止，彈簧壓縮量x的范圍為0.05m≤x≤0.15m；
（2）以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滑塊與斜面因摩擦而生成的熱量Q為5.175J．
（3）在第二問(wèn)中滑塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)求小滑塊對(duì)C點(diǎn)壓力的最小值為14N．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來(lái)源是關(guān)鍵，對(duì)于小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程之中，要抓住能量守恒，要具有解決綜合問(wèn)題的能力，需要加強(qiáng)這方面的練習(xí)．