Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小孩在平臺(tái)上以加速度a做勻加速助跑，目的是抓住在平臺(tái)右端的、上端固定的、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)懸繩，并在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．已知輕質(zhì)繩的下端與小孩的重心在同一高度，小孩抓住繩的瞬間重心的高度不變，且無(wú)能量損失．若小孩能完成圓周運(yùn)動(dòng)，則：
（1）小孩抓住繩的瞬間對(duì)懸線的拉力至少為多大？
（2）小孩的最小助跑位移多大？
（3）設(shè)小孩在加速過(guò)程中，腳與地面不打滑，求地面對(duì)腳的摩擦力大小以及摩擦力對(duì)小孩所做的功．

Answer 1

分析：（1）小孩能完成豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)最小的向心力等于小孩所受的重力，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律列式，小孩在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，依據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）小孩在水平面上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式即可求解；
（3）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可求摩擦力大小，小孩在加速過(guò)程中，腳與地面不打滑，地面對(duì)小孩的摩擦力位移為零，所以摩擦力對(duì)小孩做功為零．

解答：解：（1）小孩能完成豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)最小的向心力等于小孩所受的重力．設(shè)小孩在豎直面內(nèi)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，依據(jù)牛頓第二定律小孩在最高點(diǎn)有：mg=m

v22

L

設(shè)小孩在最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，小孩抓住懸線時(shí)懸線對(duì)小孩的拉力至少為F，
依據(jù)牛頓第二定律小孩在最低點(diǎn)有：F-mg=m

v12

L

小孩在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，依據(jù)機(jī)械能守恒定律可得，

1

2

mv₂²+2mgL=

1

2

mv₁²
聯(lián)立以上三式解得：F=6mg，v₁²=5gL．
依據(jù)牛頓第三定律可知，小孩對(duì)懸線的拉力至少為6mg．
（2）小孩在水平面上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意，小孩運(yùn)動(dòng)的加速度為a，末速度為v₁，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，v₁²=2ax
解得：x=

v 2 1

2a

=

5gL

2a

（3）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知摩擦力大小f=ma 
由于地面對(duì)小孩的摩擦力位移為零，所以摩擦力對(duì)小孩做功為零．
答：（1）小孩抓住繩的瞬間對(duì)懸線的拉力至少為6mg；
（2）小孩的最小助跑位移為

5gL

2a

；
（3）地面對(duì)腳的摩擦力大小為ma，摩擦力對(duì)小孩所做的功為零．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小孩的運(yùn)動(dòng)過(guò)程及受力情況，難度適中．