Question

在水平面上有一沿y軸放置的長為L=1m的細玻璃管，在管底有光滑絕緣的帶正電的小球．在第一象限中存在磁感應強度為B=1T的勻強磁場，方向如圖所示．已知管沿x軸以v=1m/s的速度平動，帶電小球的荷質比為

q

m

=

1

2

．求：
（1）帶電小球從管底到飛出管口時所用的時間是多少？
（2）帶電小球離開磁場時的位置到坐標原點的距離是多少？
（3）帶電小球從剛離開管口后到離開磁場時所用的時間是多少？

Answer 1

分析：（1）帶電小球在洛倫茲力作用下沿管方向做初速度為0的勻加速直線運動，根據(jù)運動學計算小球離開管口所用時間；
（2）小球在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑再根據(jù)幾何關系求解小球離開磁場時的位置坐標；
（3）根據(jù)幾何關系求出小球在磁場中轉過的圓心角，再根據(jù)勻速圓周運動的周期求解小球運動的時間．

解答：解：小球在離開管之前隨管向右以v平動，同時沿管壁做初速度為零的勻加速運動．
（1）設小球的質量為m，加速度為a，受到的洛倫茲力為f=qvB
由牛頓第二定律有   a=

f

m

=

qvB

m

①
而

q

m

=

1

2

②
小球飛出管口所有時間為t，則L=

1

2

at2③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)據(jù)解得：t=2s     ④
（2）小球飛出管口時沿管壁方向的速度為v_y=at⑤
飛出時的合速度為v合=

v 2 y +v2

   ⑥
又設小球以v_合在磁場中作圓周運動的半徑為r，由牛頓第二定律有
qv合B=m

v 2 合

r

       ⑦
聯(lián)立①②④⑤⑥⑦式并代入數(shù)據(jù)解得：r=2

2

m⑧
又小球飛出管口時，在x方向上移動的距離為x=vt=1m/s×2s=2m
如圖所示，由幾何知識可知，小球在磁場中運動的圓弧所對應的圓心角為135°．
所以，帶電小球離開磁場時離坐標原點的距離為s=r+rcos450+L=(2

2

+3)m
（3）小球在磁場中做勻速圓周運動的周期為T=

2πr

v

=

2πm

qB

代入數(shù)據(jù)解得：T=4πS
所以，帶電小球從離開管口到離開磁場所用的時間是：t=

135°

360°

T=

3π

2

s

點評：小球的合運動是沿管子方向的勻加速運動和垂直于管子方向的勻速直線運動的合運動，從兩個方向分別分析即可，小球離開玻璃管后做圓周運動，根據(jù)幾何關系和圓周運動的半徑和周期求解