Question

13．北京時(shí)間2015年3月30日2l時(shí)52分，我國(guó)新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道．“北斗”系統(tǒng)中兩顆工作衛(wèi)星均繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，某時(shí)刻兩顆工作衛(wèi)星分別位于軌道上的A、B兩位置（如圖所示）．若衛(wèi)星均沿順時(shí)針運(yùn)行，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R．不計(jì)衛(wèi)星間的相互作用力．則以下判斷中正確的是（　　）

• A． 這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等，均為$\frac{Rg}{r}$
• B． 這兩顆衛(wèi)星的線速度大小相等，均為$\sqrt{gr}$
• C． 衛(wèi)星1向后噴氣就一定能追上衛(wèi)星2
• D． 衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間為$\frac{πr}{3Rg}$$\sqrt{gr}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出衛(wèi)星的加速度和周期，從而進(jìn)行判斷．在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，萬(wàn)有引力與速度方向垂直，萬(wàn)有引力不做功．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得，$\frac{GmM}{{r}^{2}}$=ma，
解得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得，GM=gR²，
則衛(wèi)星的加速度a=$\frac{{gR}^{2}}{{r}^{2}}$．知衛(wèi)星的加速度大小相等．故A錯(cuò)誤．
B、這兩顆衛(wèi)星的線速度大小相等，均為v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{r}}$，故B錯(cuò)誤；
C、若衛(wèi)星1向后噴氣，則其速度會(huì)增大，衛(wèi)星1將做離心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星1不可能追上衛(wèi)星2．故C錯(cuò)誤．
D、由$\frac{GmM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r和$\frac{G{Mm}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g，
聯(lián)立解得，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
故衛(wèi)星1由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需的時(shí)間為：t=$\frac{T}{6}$=$\frac{πr}{3Rg}$$\sqrt{gr}$，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．