Question

3．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看做重合．現(xiàn)有一視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為0.2kg的小球從軌道ABC上距C點(diǎn)高為H的位置由靜止釋放．（取g=10m/s²）
（1）若要使小球經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF后能沿軌道運(yùn)動(dòng)，H至少要有多高？
（2）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點(diǎn)，求h；
（3）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度為h，小球擊中與圓心等高的E點(diǎn)時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，擊中后沿圓弧下滑，求小球?qū)�F點(diǎn)的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出D點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理得出H的至少高度．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球在D點(diǎn)的初速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出釋放點(diǎn)高度h的大小．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)F點(diǎn)的速度，通過(guò)牛頓第二定律求出小球到達(dá)F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）要使小球經(jīng)C處水平進(jìn)入軌道DEF后能沿軌道運(yùn)動(dòng)，則在C點(diǎn)的重力恰好提供向心力，根據(jù)：mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$得要使小球能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，小球在D點(diǎn)的速度至少為：
${v_1}=\sqrt{gr}$
A到D，由動(dòng)能定理得：$mg{H_{min}}=\frac{1}{2}mv_1^2$
得H_min=0.5r
（2）小球在D點(diǎn)作平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球在D點(diǎn)的速度為v₂，則有：
x=v₂t=r，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}=r$
A到D，由動(dòng)能定理得：$mgh=\frac{1}{2}mv_2^2$
代入數(shù)據(jù)，由以上各式可得：h=0.25r
（3）小球從A到F，由動(dòng)能定理得：$mg（h+2r）=\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$
由向心力公式：${N_F}-mg=\frac{mv_F^2}{r}$
代入數(shù)據(jù)得：N_F=6mg=6×0.2×10=12N
由牛頓第三定律可知：球在F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為：${{N}_{F}}^{′}=12\\;N$N
答：（1）H至少0.5r
（2）h的大小為0.25r．
（3）小球到達(dá)F點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為12 N．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．