Question

7．太陽(yáng)與地球的距離為1.5×10¹¹m，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年．假設(shè)太陽(yáng)系等比例縮�。�即天體的直徑和間距同比例變小；且各天體的平均密度不變．當(dāng)太陽(yáng)與地球的距離減小為0.75×10¹¹m時(shí)，地球的公轉(zhuǎn)周期為（　�。�

• A． 2年
• B． 1年
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$年
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$年

Answer 1

分析 由密度不變，半徑變化可求得天體的質(zhì)量變化；由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力可得出變化以后的公轉(zhuǎn)周期的變化情況．

解答 解：設(shè)天體原來(lái)的半徑為r，太陽(yáng)和地球原來(lái)的距離為R，當(dāng)太陽(yáng)與地球的距離減小為0.75×10¹¹m=$\frac{1}{2}$×1.5×10¹¹m時(shí)，
由于天體的密度不變而半徑減半，導(dǎo)致天體的質(zhì)量減小，所以有$M′=\frac{4}{3}π（\frac{r}{2}）^{3}=\frac{M}{8}$
地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力．所以有$G\frac{{M}_{日}′{M}_{地}′}{（\frac{R}{2}）^{2}}={M}_{地}′\frac{4{π}^{2}\frac{R}{2}}{{T}^{2}}$，整理得${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}$，與原來(lái)相同，即公轉(zhuǎn)周期不變，仍為1年，故B正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 天體的運(yùn)動(dòng)中都是萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，因向心力的表達(dá)式有多種，故應(yīng)根據(jù)題目中的實(shí)際情況確定該用的表達(dá)式．