Question

14．如圖所示，AB是傾角為θ=30°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切．圓弧的半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體（可以看作質(zhì)點）從直軌道上的p點由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道上做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，求：
（1）物體對圓弧軌道的最大壓力大��；
（2）物體滑回到軌道AB上距B點的最大距離；
（3）釋放點距B點的距離L′應(yīng)滿足什么條件，才能使物體能順利通過圓弧軌道的最高點D．

Answer 1

分析 （1）物體第一次到達(dá)圓弧軌道的最低點時，對沿圓弧軌道的壓力最大，根據(jù)動能定理求出E點的速度，再由向心力公式求出壓力；
（2）第一次滑回軌道AB上距B點的距離最大，根據(jù)動能定理求出滑回軌道AB上距B點的最大距離；
（3）根據(jù)向心力公式求出物體剛好到達(dá)軌道最高點時的速度，由動能定理求出釋放點距B點的距離；

解答 解：（1）根據(jù)幾何關(guān)系：PB=$\frac{R}{tanθ}=\sqrt{3}$R
從P點到E點根據(jù)動能定理，有：
mgR-μmgcosθ•PB=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-0
代入數(shù)據(jù)：mgR-μmg•$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{3}R=\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：${v}_{E}^{\;}=\sqrt{（2-3μ）gR}$
在E點，根據(jù)向心力公式有：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg-3μmg
（2）物體滑回到軌道AB上距B點的最大距離x，
根據(jù)動能定理，有
mg（BP-x）•sinθ-μmgcosθ（BP+x）=0-0
代入數(shù)據(jù)：$mg（\sqrt{3}R-x）•\frac{1}{2}-μmg•\frac{\sqrt{3}}{2}（\sqrt{3}R+x）=0$
解得：x=$\frac{\sqrt{3}-3μ}{\sqrt{3}μ+1}$R
（3）剛好到達(dá)最高點時，有mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
根據(jù)動能定理，有
mg（L′sinθ-R-Rcosθ）-μmgcosθ•L′=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$-0
代入數(shù)據(jù)：$mg（\frac{1}{2}L′-R-\frac{\sqrt{3}}{2}R）-μmg•\frac{\sqrt{3}}{2}L′=\frac{1}{2}$mgR
解得：L′=$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$
所以L′≥$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$，物體才能順利通過圓弧軌道的最高點D
答：（1）物體對圓弧軌道的最大壓力大小為3mg-3μmg；
（2）物體滑回到軌道AB上距B點的最大距離$\frac{\sqrt{3}-3μ}{\sqrt{3}μ+1}$R；
（3）釋放點距B點的距離L′應(yīng)滿足條件L′≥$\frac{3R+\sqrt{3}R}{1-\sqrt{3}μ}$，才能使物體能順利通過圓弧軌道的最高點D

點評 本題綜合應(yīng)用了動能定理、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，對動能定理、圓周運動部分的內(nèi)容考查的較全，是圓周運動部分的一個好題．