Question

12．寬度都為d的兩個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，但磁場(chǎng)方向相反，如圖所示．足夠大的屏MN與磁場(chǎng)最右側(cè)邊界的距離也等于d，直線(xiàn)OO′與磁場(chǎng)邊界以及屏MN都垂直．質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點(diǎn)以速度v₀射入磁場(chǎng)，速度方向與直線(xiàn)OO′成45°角．
（1）若電子能打到屏MN上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿(mǎn)足的條件及電子打在屏MN上的范圍；
（2）打在屏MN上最高點(diǎn)的電子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由于牛頓第二定律與勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度公式分析答題．
（2）根據(jù)電子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出電子在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出電子的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
電子恰好打到MN上時(shí)，電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)可知，r+rcos45°=d，解得：r=（2-$\sqrt{2}$）d，
電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：ev₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$，B=$\frac{m{v}_{0}}{（2-\sqrt{2}）ed}$，
由r=$\frac{m{v}_{0}}{eB}$可知，B越小，r越大，
則：電子打在MN上的條件是：B≤$\frac{m{v}_{0}}{（2-\sqrt{2}）ed}$；
由圖示可知：O′N(xiāo)=$\fracq9gn6tz{tan45°}$-2rsin45°=（3-2$\sqrt{2}$）d，
若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度非常小，則粒子近似做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，最下面的點(diǎn)：O′Q=3d•tan45°=3d
電子打在屏MN上的范圍是：在O′以上到O′的距離小于（3-22）d；到O′以下到O′的距離小于3d范圍內(nèi)；
（2）電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2（2-\sqrt{2}）πd}{{v}_{0}}$，
電子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ=90°+45°=135°，
電子在磁場(chǎng)中的勻速時(shí)間：t₁=2$\frac{θ}{360°}$T=2×$\frac{135°}{360°}$×$\frac{2（2-\sqrt{2}）πd}{{v}_{0}}$=$\frac{3（2-\sqrt{2}）πd}{2{v}_{0}}$，
電子離開(kāi)磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{\fract6w1t6l{sin45°}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}d}{{v}_{0}}$，
打在屏MN上最高點(diǎn)的電子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{3（2-\sqrt{2}）πd}{2{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{2}d}{{v}_{0}}$；
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：B≤$\frac{m{v}_{0}}{（2-\sqrt{2}）ed}$；
電子打在屏MN上的范圍是：在O′以上到O′的距離小于（3-2$\sqrt{2}$）d，到O′以下到O′的距離小于3d范圍內(nèi)；
（2）打在屏MN上最高點(diǎn)的電子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{3（2-\sqrt{2}）πd}{2{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{2}d}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，分析清楚電子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用牛頓第二定律即可正確解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．