Question

如圖所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐頂角為2θ，當(dāng)圓錐和球一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球壓緊錐面．
（1）此時(shí)繩的張力是多少？
（2）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度至少為多少？

Answer 1

分析：（1）分析小球的受力情況，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，求解繩的張力．
（2）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界角速度ω₀．

解答：解：（1）小球受到重力mg、繩的拉力T和錐面的支持力N，如圖所示．根據(jù)牛頓第二定律得：
   Tsinθ-Ncosθ=mω²Lsinθ  ①
   Tcosθ+Nsinθ=mg；   ②
聯(lián)立解得，T=mgcosθ+mω²Lsin²θ；
（2）小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的速度，此時(shí)支持力為零，設(shè)此時(shí)角速度為ω₀，由①②兩式得：
   mgtanθ=mω₀²Lsinθ  ③
解得：ω₀=

g Lcosθ

即要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度至少為

g Lcosθ

．
答：
（1）此時(shí)繩的張力是mgcosθ+mω²Lsin²θ；
（2）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度至少為

g Lcosθ

．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于分析小球向心力的來(lái)源，抓住小球剛離開(kāi)圓錐體表面時(shí)支持力為零，直接應(yīng)用向心力公式求解．