Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，ON為沿x軸水平放置的熒光屏，其上方高為h的區(qū)域Ⅰ內(nèi)存在垂直坐標平面向外的勻強磁場，區(qū)域Ⅱ內(nèi)存在沿y軸負方向的勻強電場，以水平面PQ為理想分界面，A是y軸正半軸上的一點，它到坐標原點O的距離為2h．質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子從A點以速度v₀垂直于y軸射入電場，離子經(jīng)PQ界面上的C點與x軸正方向成θ=60°射入磁場，剛好垂直打在熒光屏上的D點．不計離子的重力，求
（1）AC兩點間的電勢差U_AC；
（2）區(qū)域 I內(nèi)磁場的磁感應強度B；
（3）離子從A點運動到D點的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，由到達P的坐標，根據(jù)運動的合成與分解求出y方向的分速度與初速度關(guān)系，從而結(jié)合動能定理AC兩點間的電勢差U_AC；
（2）粒子以此速度進入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場中運動的半徑．然后結(jié)合幾何關(guān)系求得磁感應強度B；
（3）粒子的運動分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運動，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運動，分段求出時間，相加可得總時間．

解答 解：粒子的運動軌跡如右圖所示
（1）x方向勻速直線運動，y方向初速度為零的勻加速直線運動，則有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan60°$
粒子射出電場時的速度：
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=2{v}_{0}$
粒子在電場中運動，電場力做功，由動能定理得：$q{U}_{AC}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${U}_{AC}=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）由圖中幾何關(guān)系可得：rcos60°=h
又由洛倫茲力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
聯(lián)立得：$B=\frac{m{v}_{0}}{qh}$
（3）設(shè)粒子在電場中運動的時間為t₁，則$h=\frac{{v}_{0}tan60°}{2}{t}_{1}$；C到D做勻速圓周運動，粒子的偏轉(zhuǎn)角是30°=$\frac{π}{6}$，則：${t}_{CD}=\frac{\frac{π}{6}}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πh}{6{v}_{0}}$
粒子運動的總時間：$t={t}_{AC}+{t}_{CD}=（4\sqrt{3}+π）•\frac{h}{6{v}_{0}}$
答：（1）AC兩點間的電勢差是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$；（2）區(qū)域 I內(nèi)磁場的磁感應強度是$\frac{m{v}_{0}}{qh}$；（3）離子從A點運動到D點的總時間$（4\sqrt{3}+π）•\frac{h}{6{v}_{0}}$．

點評 該題中，帶電粒子先在電場中做平拋運動，后在磁場中做也是一種運動．解題的關(guān)鍵是明確粒子的運動，畫出軌跡，然后結(jié)合幾何關(guān)系，求出勻速圓周運動的半徑．