Question

如圖甲所示，在光滑絕緣的水平面上固定著兩對幾何形狀完全相同的平行金屬板PQ和MN，P、Q與M、N四塊金屬板相互平行地豎直放置，其俯視圖如圖乙所示。已知P、Q之間以及M、N之間的距離都是d=0.2m，極板本身的厚度不計，極板長均為L=0.2m，板間電壓都是。金屬板右側(cè)為豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度，磁場區(qū)域足夠大。今有一質(zhì)量，電量的帶負電小球在水平面上如圖從PQ平行板間左側(cè)中點O沿極板中軸線以初速度=4m/s進入平行金屬板PQ。
（1）試求小球剛穿出平行金屬板PQ進入磁場瞬間的速度；
（2）若要小球穿出平行金屬板PQ后，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)射入平行金屬板MN中，且在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點O′ 沿中軸線射出。則金屬板Q、M間距離最大是多少？

      

Answer 1

解：（1）小球在PQ金屬板中做類平拋運動：
      小球所受電場力，而小球加速度
      故
      小球在板間運動的時間
      小球在垂直板方向上的速度
      則小球離開PQ板時的速度為
      與中軸線的夾角為
（2）在PQ極板間，若P板電勢比Q板高，則小球向P板偏離，進入右側(cè)磁場后做圓周運動，由運動的對稱性，則必須N板電勢高于M板電勢，其運動軌跡如圖a所示；同理若Q板電勢比P板高，則必須M板電勢高于N板電勢，其運動軌跡如圖b所示。否則不可能在不與極板相碰的前提下，最終在極板MN的左側(cè)中點O′沿中軸線射出。

       

      小球進入磁場后做圓周運動，設(shè)運動半徑為R，因洛侖茲力提供向心力，即：
      所以
      在PQ極板間，若小球向P板偏，設(shè)小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_a；在PQ極板間，若小球向Q板偏，設(shè)小球射入與射出磁場的兩點間的距離為h_b。由圖中幾何關(guān)系（注：圖中半徑不同，為簡便，兩圖合一）可算得：
      小球偏離中軸線的位移
      當(dāng)小球向P板偏時，根據(jù)對稱性可得QM板間的距離為
      
      當(dāng)小球向Q板偏時，根據(jù)對稱性可得QM板間的距離為 
      
      顯然
      代入數(shù)據(jù)得
      因而金屬板Q、M間距離最大為0.75m