Question

5．卡文迪許用扭秤實驗測定了引力常量，不僅用實驗驗證了萬有引力定律的正確性，而且應(yīng)用引力常量還可以測出地球的質(zhì)量，卡文迪許也因此被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”．已知引力常量為G，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g．
（1）根據(jù)以上信息和所學知識推導(dǎo)地球質(zhì)量M和地球密度ρ；
（2）根據(jù)題干中給出的信息和所學知識，推導(dǎo)地球的第一宇宙速度V₁；
（3）已知太陽系的某顆小行星半徑為地球半徑的$\frac{1}{N}$，將該小行星和地球都看作質(zhì)量均勻分布的球體，且兩星球的密度相同，試計算該小行星的第一宇宙速度v₂．

Answer 1

分析 （1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，據(jù)此求出地球質(zhì)量，然后應(yīng)用密度公式求出地球的密度．
（2）衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出第一宇宙速度．
（3）衛(wèi)星繞行星做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出該行星的第一宇宙速度．

解答 解：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，地球質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，第一宇宙速度：v₁=$\sqrt{gR}$；
（3）小行星的密度與地球密度相同，
則：$\frac{3{g}_{地}}{4πG{R}_{地}}$=$\frac{3{g}_{行星}}{4πG{R}_{行星}}$，g_行星=$\frac{{R}_{行星}{g}_{地}}{{R}_{地}}$=$\frac{\frac{1}{N}{R}_{地}{g}_{地}}{{R}_{地}}$=$\frac{{g}_{地}}{N}$，
小行星的低于宇宙速度：v₂=$\sqrt{{g}_{行星}{R}_{行星}}$=$\sqrt{\frac{{g}_{地}}{N}×\frac{{R}_{地}}{N}}$=$\frac{1}{N}$$\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}$=$\frac{\sqrt{gR}}{N}$；
答：（1）地球質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，地球密度ρ為$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）地球的第一宇宙速度V₁為$\sqrt{gR}$；
（3）該小行星的第一宇宙速度v₂為$\frac{\sqrt{gR}}{N}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道地球表面的物體受到的重力等于萬有引力、知道萬有引力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律即可解題，解題時注意代換的應(yīng)用．