Question

如圖，在0≤x≤區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在t＝0時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t₀時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界上P(，a)點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)．求：
(1)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷q/m；
(2)此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；
(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開(kāi)磁場(chǎng)所用的時(shí)間。

Answer 1

解：(1)沿y軸正方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲中的弧所示，其圓心為C。由題給條件可以得出∠OCP＝ ①

此粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t₀＝ ②，式中T為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)速度的大小為v，半徑為R，由幾何關(guān)系可得R＝a ③
由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有qvB＝m ④，T＝ ⑤
聯(lián)立②③④⑤式，得
(2)依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)內(nèi)的粒子到O點(diǎn)距離相同。在t₀時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以O(shè)點(diǎn)為圓心、OP為半徑的弧上，如圖甲所示
設(shè)此時(shí)位于P、M、N三點(diǎn)的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N。由對(duì)稱性可知v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為π/3。設(shè)v_M、v_N與y軸正向的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關(guān)系有θ_M＝，θ_N＝
對(duì)于所有此時(shí)仍在磁場(chǎng)中的粒子，其初速度與y軸正方向所成的夾角θ應(yīng)滿足
(3)在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)與磁場(chǎng)右邊界相切，其軌跡如圖乙所示

由幾何關(guān)系可知，
由對(duì)稱性可知，
從粒子發(fā)射到全部粒子飛出磁場(chǎng)所用的時(shí)間t_m＝2t₀