Question

6．如圖所示，長度為L的細繩一端固定在O點，另一端系一小球，O點正下方O′位置固定一枚釘子，將小球從水平位置A由靜止釋放，使小球繞O點下擺，由于釘子擋住細繩，后來又繞O′點上擺，當小球運動到最高點C位置時，細繩上的拉力為小球重力的5倍
（1）求O點與O′點的高度差H；
（2）為使細繩碰到釘子后小球的圓周運動能夠到達最高點，求h的最小值．

Answer 1

分析 （1）當小球運動到最高點C位置時，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球通過C點的速度，再由機械能守恒定律求O點與O′點的高度差H；
（2）為使細繩碰到釘子后，小球恰好到達最高點時，繩子拉力為零，由重力充當向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出C點的臨界速度，再由機械能守恒定律結合求h的最小值．

解答 解：（1）設小球運動到最高點C位置圓周的半徑為r．在C點時，根據(jù)牛頓第二定律得：
T+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
由題有：T=5mg
根據(jù)機械能守恒定律得：
mg（L-2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得：r=$\frac{1}{5}$L
所以O點與O′點的高度差為：H=L-r=$\frac{4}{5}$L．
（2）設小球做完整圓周運動時其軌道半徑為R，小球剛好通過最高點C的條件為：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
小球從靜止釋放至運動到最高點的過程中，只有重力做功，因而機械能守恒，則根據(jù) 機械能守恒定律得：
mg（L-2R）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：R=$\frac{2}{5}$L．
所以h的最小值為：h=L-R=$\frac{3}{5}$L．
答：（1）O點與O′點的高度差H是$\frac{4}{5}$L；
（2）為使細繩碰到釘子后小球的圓周運動能夠到達最高點，h的最小值是$\frac{3}{5}$L．

點評 解決本題的關鍵知道小球在豎直面內(nèi)做圓周運動最高點的臨界條件：重力等于向心力，結合牛頓第二定律和機械能守恒定律進行求解．