Question

6．如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，O點(diǎn)正下方O′位置固定一枚釘子，將小球從水平位置A由靜止釋放，使小球繞O點(diǎn)下擺，由于釘子擋住細(xì)繩，后來(lái)又繞O′點(diǎn)上擺，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C位置時(shí)，細(xì)繩上的拉力為小球重力的5倍
（1）求O點(diǎn)與O′點(diǎn)的高度差H；
（2）為使細(xì)繩碰到釘子后小球的圓周運(yùn)動(dòng)能夠到達(dá)最高點(diǎn)，求h的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C位置時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求小球通過(guò)C點(diǎn)的速度，再由機(jī)械能守恒定律求O點(diǎn)與O′點(diǎn)的高度差H；
（2）為使細(xì)繩碰到釘子后，小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩子拉力為零，由重力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出C點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒定律結(jié)合求h的最小值．

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C位置圓周的半徑為r．在C點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
T+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
由題有：T=5mg
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg（L-2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得：r=$\frac{1}{5}$L
所以O(shè)點(diǎn)與O′點(diǎn)的高度差為：H=L-r=$\frac{4}{5}$L．
（2）設(shè)小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)其軌道半徑為R，小球剛好通過(guò)最高點(diǎn)C的條件為：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
小球從靜止釋放至運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，因而機(jī)械能守恒，則根據(jù) 機(jī)械能守恒定律得：
mg（L-2R）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：R=$\frac{2}{5}$L．
所以h的最小值為：h=L-R=$\frac{3}{5}$L．
答：（1）O點(diǎn)與O′點(diǎn)的高度差H是$\frac{4}{5}$L；
（2）為使細(xì)繩碰到釘子后小球的圓周運(yùn)動(dòng)能夠到達(dá)最高點(diǎn)，h的最小值是$\frac{3}{5}$L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，結(jié)合牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律進(jìn)行求解．