Question

9．2013年6月，我國(guó)成功實(shí)現(xiàn)目標(biāo)飛行器“神舟十號(hào)”與軌道空間站“天宮一號(hào)”的對(duì)接．如圖所示，已知“神舟十號(hào)”從捕獲“天宮一號(hào)”到實(shí)現(xiàn)對(duì)接用時(shí)t，這段時(shí)間內(nèi)組合體繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ（此過(guò)程軌道不變，速度大小不變），地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬(wàn)有引力恒量G，不考慮地球自轉(zhuǎn)；求：
（1）地球質(zhì)量M；
（2）組合體運(yùn)動(dòng)的周期T；
（3）組合體所在圓軌道離地高度H．

Answer 1

分析 （1）在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，由此即可求出地球的質(zhì)量；
（2）t時(shí)間內(nèi)組合體繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，結(jié)合$ω=\frac{θ}{t}$先求出角速度，然后再求出周期即可
（3）萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，可以解得組合體離地面的高度．

解答 解：（1）因?yàn)樵诘厍虮砻娴奈矬w受到的重力等于萬(wàn)有引力，有：
$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）設(shè)組合體的角速度為ω，周期為T(mén)，則：$ω=\frac{θ}{t}$
T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2πt}{θ}$
（3）萬(wàn)有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（T+H）$
聯(lián)立解得：H=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{{θ}^{2}}}-R$
答：（1）地球質(zhì)量M是$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）組合體運(yùn)動(dòng)的周期T是$\frac{2πt}{θ}$；
（3）組合體所在圓軌道離地高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{{θ}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要掌握萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$這兩個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．