Question

3．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，C是最低點，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1.0m，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m=0.5kg可視為質(zhì)點的小物體，從D點的正上方E點處自由下落，DE距離h=0.8m，物體與斜面AB之間的動摩擦因數(shù)μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）物體第一次運動到D點的速度大小
（2）物體第一次通過C點時軌道對物體的支持力F_N的大小；
（3）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少要多長．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒可求得物體在C點的速度；
（2）C點物體做圓周運動，則由牛頓第二定律充當(dāng)向心力可求得支持力；
（3）要使物體不飛出，則到達A點時速度恰為零，則由動能定理可求得AB的長度．

解答 解：（1）物體從E到D，由機械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv_D²①
解得：v_D=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s②
（2）物體從E到C由機械能守恒得：mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_c²  ③
在C點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$④
解得支持力 F_N=23N    ⑤
（3）在物體運動過程EDCA過程中，由動能定理得
mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]-μmgcos37°L_AB=0    ⑥
解得斜面長度至少為：L_AB=2.0 m      
答：（1）物體第一次運動到D點的速度大小為4m/s
（2）物體第一次通過C點時軌道對物體的支持力F_N的大小為23N；
（3）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少要為2.0m．

點評 本題考查動能定理以及機械能守恒定律的應(yīng)用，在考查力學(xué)問題時，常常將動能定理、機械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進行考查，并且常常綜合平拋、圓周運動及勻變速直線運動等運動的形式．