Question

8．三根重為G，長(zhǎng)為a的均質(zhì)桿對(duì)稱擱在地上，底端相距也均為a，如圖所示．A桿頂端所受作用力的大小$\frac{\sqrt{2}}{4}$G；若一重為G的人坐在A桿中點(diǎn)，則A桿頂端所受作用力變?yōu)?\frac{\sqrt{3}}{3}$G．

Answer 1

分析 以A桿與地面的接觸點(diǎn)為支點(diǎn)，對(duì)A桿進(jìn)行受力分析，由杠桿的平衡條件列方程求解．

解答 解：三木桿組成一個(gè)正四面體，已知正四面體邊長(zhǎng)a，A端高：h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
設(shè)桿與底面的夾角β，則由幾何知識(shí)有：sinβ=$\frac{h}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
設(shè)BC的中垂線與底面的夾角是α，則：sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosα=$\frac{1}{3}$．
（1）以A桿為研究對(duì)象，A桿受力如圖一所示．
A桿與地面的接觸點(diǎn)為支點(diǎn)，桿所受重力G的力臂為：L_重=$\frac{a}{2}$cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
桿頂端所受力F的力臂，有：L_F=asinβ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
 由杠桿平衡條件，得：GL_重=FL_F，
即：G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=F×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
解得：F=$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，方向水平向左．
（2）以A桿為研究對(duì)象，受力如圖二所示．由于人處于靜止?fàn)顟B(tài)，
所以人對(duì)桿的壓力F_壓力摩擦力f'大小等于人的重力G，方向豎直向下，
人對(duì)桿的作用力力臂 L_人=$\frac{a}{2}$cosβ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a
BC桿所組成面對(duì)桿的作用力F_N，力臂等于四面體的高h(yuǎn)，
   L_FN=h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
由杠桿的平衡條件得：GL_人+GL_重=FL_F+F_NL_FN，
即 G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a+G×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=F×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a+F_N×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
解得：F_N=$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，
A桿頂端所受作用力的大�。�
   F_合=$\sqrt{{F}^{2}+{F}_{N}^{2}+2F{F}_{N}cosα}$
代入解得 F_合=$\frac{\sqrt{3}}{3}$G，方向斜向右上方，如圖所示．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$G，$\frac{\sqrt{3}}{3}$G．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要正確進(jìn)行受力分析，要注意桿受力分布在空間，要運(yùn)用合成法確定某一平面內(nèi)的合力，同時(shí)要注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．