Question

2．某星球的質(zhì)量約為地球的6倍，半徑約為地球的1.5倍，在該星球表面進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相切，半圓形導(dǎo)軌的半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌的瞬間對(duì)軌道的壓力為其在星球上受到重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能到達(dá)最高點(diǎn)C．（已知地球表面重力加速度g，不計(jì)空氣阻力）求：
（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，得到星球表面重力加速度和地球表面重力加速度表達(dá)式，再運(yùn)用比例法求該星球表面的重力加速度g′；
（2）物體經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得出B點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒定律求出物體在A點(diǎn)時(shí)的彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）物體恰好通過(guò)最高點(diǎn)C，根據(jù)牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，通過(guò)能量守恒定律求出物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能．

解答 解：（1）據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，
在地球表面有：G$\frac{Mm}{R^2}$=mg
在星球表面有：G$\frac{M'm}{{R{'^2}}}$=mg'
兩式相比解得：g′=$\frac{8}{3}$g
（2）在B點(diǎn)，據(jù)牛頓第二定律得：
7mg'-mg'=m$\frac{{{v_B}^2}}{R}$
物塊與彈簧組成的系統(tǒng)在AB段機(jī)械能守恒得：E_P彈=$\frac{1}{2}m{v_B}$²
解得，彈簧的彈性勢(shì)能為：E_P彈=8mgR
（3）物體恰能過(guò)C點(diǎn)，則有：mg'=m$\frac{{{v_C}^2}}{R}$
從B到C過(guò)程中，對(duì)物塊，由動(dòng)能定理得：
-mg'2R-W_f=$\frac{1}{2}m{v_C}^2-\frac{1}{2}m{v_B}$²
又-W_f=Q
解得：Q=$\frac{4}{3}$mgR
答：（1）該星球表面的重力加速度g′是$\frac{8}{3}$g；
（2）物體在A點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是8mgR；
（3）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能是$\frac{4}{3}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵有二：一、掌握萬(wàn)有引力等于重力．二、明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，知道物體恰好通過(guò)圓周的最高點(diǎn)的臨界條件是：重力等于向心力．