Question

如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為d，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角α=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面向上．長為d的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右側(cè)電路，燈泡的電阻R₁=3R，電阻箱電阻調(diào)到R′=6R，重力加速度為g．現(xiàn)閉合開關(guān)S，給金屬棒施加一個(gè)方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開始運(yùn)動(dòng)．
（1）求金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)的加速度．
（2）若金屬棒上滑距離為L時(shí)速度恰達(dá)到最大，求金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱．
（3）若改變R′的阻值，當(dāng)R′為何值時(shí)，在金屬棒達(dá)到最大速度后，R′消耗的功率最大？消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒由靜止開始先加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)后做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度達(dá)到最大，根據(jù)平衡條件和E=BLv_m、I=

E

R+r

、F_安=BIL結(jié)合求出最大速度v_m．當(dāng)金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)，先求出安培力，再由牛頓第二定律求出加速度a．
（2）由題，金屬棒達(dá)到最大速度時(shí)，根據(jù)能量守恒定律求出金屬棒上產(chǎn)生的電熱．
（3）運(yùn)用P=I²R，結(jié)合電路的連接關(guān)系得到R′消耗的功率與R′的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解功率最大值及應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）金屬棒在圖所示各力作用下，先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度為零時(shí)，金屬棒達(dá)到最大速度，此后開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大速度為v_m，金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)的加速度為a，則速度達(dá)到最大時(shí)有
  F=IdB+mgsinα            
根據(jù)閉合電路歐姆定律得：I=

Bdvm

R總

                                   
整個(gè)電路的總電阻為 R_總=R+

R′RL

R′+RL

=3R                    
由以上各式解得：v_m=

3mgR

2B2d2

                      
金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)，由牛頓第二定律有
  F-I_串dB-mgsinα=ma                       
又 I_串=

Bdvm

2R總

=

I

2

解得：a=

g

4

                                
（2）設(shè)整個(gè)電路放出的電熱為Q，由能量守恒定律有：
  F?4L=Q+mgsinθ?L+

1

2

m

v

2 m

代入上面的v_m值，可得：Q=2mgL-

9m3g2R2

8B4d4

              
因

R

R總

=

1

3

故金屬棒放出的電熱Q_棒=

1

3

Q=

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

         
（3）R′上消耗的功率P′=I′²R′
并聯(lián)部分的電阻為 R_并=

R′RL

R′+RL

=

3RR′

R′+3R

又 I′R′=IR_并
I′=

3R

3R+R′

I=

3Rmg

2(3R+R′)Bd

                      
則得：P′=

m2g2

4B2d2

?

9R2R′

(3R+R′)2

=

m2g2

4B2d2

?

9R2

9R2 R′ +6R+R′

                         
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得知，當(dāng)

9R2

R′

=R′即R′=3R時(shí)，上式分母最小，R′消耗的功率最大，為  P′_m=

3m2g2R

16B2d2

．
答：（1）金屬棒達(dá)到最大速度的一半時(shí)的加速度為

g

4

．
（2）金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱為

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

．
（3）若改變R′的阻值，當(dāng)R′=3R時(shí)，在金屬棒達(dá)到最大速度后，R′消耗的功率最大，消耗的最大功率為

3m2g2R

16B2d2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，其橋梁是安培力，要學(xué)會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，分析棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和能量守恒處理這類問題．關(guān)鍵要會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)上函數(shù)法求功率的最大值．