Question

9．一部電動機(jī)通過一輕繩從靜止開始向上提起質(zhì)量m=4.0kg的物體，在前2.0s內(nèi)繩的拉力恒定，此后電動機(jī)保持額定功率P_額=600W工作，物體被提升至h=60m高度時(shí)恰好達(dá)到最大速度v_m．上述過程的v-t圖象如圖所示（取g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力），求：
（1）物體的最大速度v_m；
（2）物體速度v₂=12m/s時(shí)加速度的大小；
（3）物體從速度v₁=10m/s時(shí)開始，經(jīng)過多長時(shí)間被提升至60m高度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)電動機(jī)拉力和重力平衡時(shí)速度最大，根據(jù)功率定義可以求出最大速度．
（2）此時(shí)電動機(jī)以額定功率工作，根據(jù)功率公式求出電動機(jī)輸出的拉力，由牛頓第二定律求出加速度．
（3）先計(jì)算勻加速上升高度，然后計(jì)算出勻變速運(yùn)動高度，根據(jù)動能定理求出電動機(jī)工作時(shí)間．

解答 解：（1）當(dāng)拉力F=mg時(shí)，物體達(dá)到最大速度v_m
由P=Fv，
得：${v}_{m}=\frac{{P}_{額}}{mg}=\frac{600}{4×10}=15m/s$
（2）當(dāng)v₂=12m/s時(shí)電動機(jī)以額定功率工作
由P_額=F₂v₂
代入數(shù)據(jù)得：F₂=50N
由牛頓第二定律得：F₂-mg=ma₂
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=2.5m/{s}^{2}$
（3）物體勻加速階段上升高度：${h}_{1}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{10}{2}×2=10m$
物體變加速階段上升高度：h₂=h-h₁=60-10=50m
變加速階段由動能定理得：${P}_{額}{t}_{2}-mg{h}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=3.75s
答：（1）物體的最大速度v_m為15m/s；
（2）物體速度v₂=12m/s時(shí)加速度的大小為2.5m/s²；
（3）物體從速度v₁=10m/s時(shí)開始，經(jīng)過3.75s被提升至60m高度．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動規(guī)律，然后分過程選擇恰當(dāng)?shù)墓�式列式求解，類似于汽車的勻加速啟動問題．