Question

10．兩根長均為L、間距為d的平行光滑導(dǎo)軌C₁C₂、D₁D₂固定在傾角為θ的絕緣斜面上，其上、下兩端分別用導(dǎo)線連接有阻值為2R和R的電阻，在兩導(dǎo)軌間加上一磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出）．一長為d、質(zhì)量為m的金屬棒垂直放置于導(dǎo)軌的上端C₁D₁．使金屬棒由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，棒下滑距離為$\frac{L}{2}$時恰好開始做勻速運(yùn)動．金屬棒、導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計，重力加速度大小為g．求：
（1）金屬棒由靜止開始下滑距離為$\frac{L}{2}$的過程中，通過金屬棒某一截面的電荷量q；
（2）金屬棒由靜止開始下滑距離為L的過程中，回路上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電荷量的計算公式結(jié)合閉合電路的歐姆定律求解電荷量；
（2）根據(jù)平衡條件和法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律求解最大速度，根據(jù)功能關(guān)系求解產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒下滑過程中切割磁感應(yīng)線，金屬棒相當(dāng)于電源，兩個電阻并聯(lián)后的總電阻為：
R_總=$\frac{2R•R}{2R+R}$=$\frac{2}{3}R$，
根據(jù)電荷量的計算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{{R}_{總}}$，
其中△Φ=BScosθ=$\frac{1}{2}BLdcosθ$，
解得：q=$\frac{\frac{1}{2}BLdcosθ}{\frac{2}{3}R}$=$\frac{3BLdcosθ}{4R}$；
（2）設(shè)勻速運(yùn)動的速度為v，根據(jù)平衡條件可得：mgsinθ=BIdcosθ，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律可得：I=$\frac{Bdvcosθ}{{R}_{總}}$，
聯(lián)立解得：v=$\frac{2mgRtanθ}{3{B}^{2}drprn5x^{2}cosθ}$；
根據(jù)功能關(guān)系可得：mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得：Q=mgLsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}ta{n}^{2}θ}{9{B}^{4}txz5lrv^{4}co{s}^{2}θ}$．
答：（1）金屬棒由靜止開始下滑距離為$\frac{L}{2}$的過程中，通過金屬棒某一截面的電荷量為$\frac{3BLdcosθ}{4R}$；
（2）金屬棒由靜止開始下滑距離為L的過程中，回路上產(chǎn)生的焦耳熱為mgLsinθ-$\frac{2{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}ta{n}^{2}θ}{9{B}^{4}1rpf1ld^{4}co{s}^{2}θ}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：
一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；
另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解；
注意本題計算時磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向是豎直向下，一定要進(jìn)行分解．