Question

8．如圖所示，半徑R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在水平地面上，O為該圓弧的圓心，軌道上方的A處有一個可視為質點的質量m=1kg的小物塊，小物塊由靜止開始下落后恰好沿切線進入$\frac{1}{4}$圓弧軌道．此后小物塊將沿圓弧軌道下滑，已知AO連線與水平方向的夾角θ=45°，在軌道末端C點緊靠一質量M=3kg的長木板（足夠長），木板上表面與圓弧軌道末端的切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛到達C點時的速度大��；
（2）小物塊在長木板上滑行的過程，摩擦力對小物塊做的功．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A處運動到C點的過程中，只有重力做功，根據動能定理可求得小物塊滑到C點時的速度大小v_C．
（2）小物塊滑上長木板后做勻減速運動，長木板做勻加速運動，當兩者速度相同時相對靜止，小物塊不再受摩擦力．根據牛頓第二定律和速度公式結合兩者達到共速的時間，由位移公式求出小物塊的位移，再求摩擦力對小物塊做的功．

解答 解：（1）小物塊從A到C，由動能定理可得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得：${V_c}=4\sqrt{2}m/s$
（2）根據牛頓第二定律得：
對小物塊研究有：a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²．
對長木板研究：a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×1×10}{3}$=1m/s²．
設經過t時間小物塊和長木板速度相等，則有：v_c-a₁t=a₂t
解得：$t=\sqrt{2}s$
小物塊的位移為：s=v_ct-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
解得：s=5m
摩擦力對小物塊做的功為：
W=-μmgS=-0.3×1×10×5=-15J
答：（1）小物塊剛到達C點時的速度大小是4$\sqrt{2}$m/s；
（2）小物塊在長木板上滑行的過程，摩擦力對小物塊做的功是-15J．

點評 解決本題時要分析清楚小物塊的運動過程，運用了動能定理、牛頓第二定律以及運動學公式來解決．第2問也可以根據動量守恒定律和動能定理結合求解．