Question

已知萬有引力常量G，地球的半徑R，地球表面重力加速度g和地球自轉(zhuǎn)周期T．不考慮地球自轉(zhuǎn)對重力的影響，求：
（1）地球的質(zhì)量和密度；
（2）地球同步衛(wèi)星的高度；
（3）第一宇宙速度．

Answer 1

分析：根據(jù)已知量，地球表面的物體受到的重力等于萬有引力可求出地球的質(zhì)量，再利用球體的體積公式、密度公式可求出地球的密度；地球的同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，可以求出地球同步衛(wèi)星的高度、第一宇宙速度．

解答：解：（1）地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，∴

GMm

R2

=mg，∴地球的質(zhì)量M=

gR2

G

又地球的體積V=

4

3

πR3，密度公式ρ=

M

V

，聯(lián)立得地球的密度：ρ=

3g

4πGR

．
（2）地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力：

GMm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)，
代入地球的質(zhì)量得衛(wèi)星的高度：h=

3	gR2T2 4π2

-R．
（3）地球的近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力，∴G

Mm

R2

=m

v2

R

，
代入地球的質(zhì)量得第一宇宙速度：v=

gR

．
答：（1）地球的質(zhì)量為

gR2

G

，密度為

3g

4πGR

；
（2）地球同步衛(wèi)星的高度為

3	gR2T2 4π2

-R；
（3）第一宇宙速度為

gR

．

點評：解答此題要清楚地球表面的物體受到的重力等于萬有引力，地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，地球近地衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力．