Question

如圖所示，水平放置的平行金屬板M、N間距離為d，板長為l，在M、N間加上電壓，M板的電勢高于N板電勢，質量為m 帶電量為q的帶正電粒子，以初速度v₀平行金屬板從兩板正中間進入平行板間，帶點粒子離開平行金屬板后進入金屬板右側有直角三角形邊界的勻強磁場區(qū)域，已知磁場區(qū)域AB邊長為a，BC邊水平，∠B=60°，∠C=90°，磁場方向垂直紙面向里，設帶電粒子恰好從AB邊的中點D以垂直AB邊的速度方向進入磁場區(qū)域，不計帶電粒子的重力，求：
（1）M、N兩板間所加的電壓U
（2）若帶電粒子垂直于AC邊離開磁場，求帶電粒子在磁場中的運動時間
（3）若保證帶電粒子從AB邊離開磁場，則磁場區(qū)域的磁感應強度滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子進入電場后做類平拋運動，由題意分析可知，粒子離開電場時速度偏轉的角度為30°，即可得到離開電場時粒子大豎直與水平兩個方向分速度的關系，由牛頓第二定律和運動學公式求出U；
（2）帶電粒子進入磁場后由洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動，畫出軌跡，由幾何關系求得粒子在磁場中運動軌道半徑R，根據軌跡的圓心角求出時間；
（3）粒子的最大軌道半徑與AC邊相切，由幾何知識求出最大半徑，由牛頓第二定律求得最小的磁感應強度．

解答：解：（1）由題意可知，粒子離開電場時速度偏轉的角度為30°，則離開偏轉電場時粒子豎直方向的速度v_y=v₀tan30°=

3

3

v₀
粒子在MN間的加速度a=

qU

md

，
v_y=at，
其中時間  t=

l

v0

，
聯(lián)立解得U=

3 m v 2 0 d

3ql

（2）粒子進入磁場時速度v=

v0

cos30°

=

2v0

3

由幾何關系可知粒子在磁場中運動軌道半徑R=

a

2

，
軌跡所對應的圓心角為30°，則粒子在磁場中運動t=

1

12

T=

1

12

×

2πR

v

=

3 πa

24v0

（3）粒子的最大軌道半徑與AC邊相切，由幾何關系得
   

a

2

=R_m+

Rm

sin30°

，
解得R_m=

a

6

由洛倫茲力提供向心力，則qvB=m

v2

Rm

得B=

12mv0

3qa

保證帶電粒子從AB邊離開磁場，磁感應強度B≥

12mv0

3qa

答：
（1）M、N兩板間所加的電壓U為

3 m v 2 0 d

3ql

．
（2）若帶電粒子垂直于AC邊離開磁場，帶電粒子在磁場中的運動時間為

3 πa

24v0

．
（3）若保證帶電粒子從AB邊離開磁場，則磁場區(qū)域的磁感應強度滿足的條件是B≥

12mv0

3qa

．

點評：做好此類題目的關鍵是準確的畫出粒子運動的軌跡圖，利用幾何知識求出粒子運動的半徑，再結合半徑公式和周期公式去分析，難度較大