Question

如圖所示，A、B是兩塊豎直放置的平行金屬板，相距為2L，分別帶有等量的正、負(fù)電荷，在兩板間形電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E勻強(qiáng)電場(chǎng)。A板上有一小孔（它的存在對(duì)兩板間勻強(qiáng)電場(chǎng)分布的影響可忽略不計(jì)），孔中有一條與板垂直的水平光滑絕緣軌道，一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），在外力作用下靜止在軌道的中點(diǎn)P處。一自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕彈簧左端固定在距A板左側(cè)L處擋板上，右端固定一塊輕小的絕緣材料制成的薄板Q。撤去外力釋放帶電小球，它將在電場(chǎng)力作用下由靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)小孔后（不與金屬板A接觸）與薄板Q一起壓縮彈簧，由于薄板Q及彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，可認(rèn)為小球與Q接觸過(guò)程中不損失機(jī)械能。小球從接觸Q開(kāi)始，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間第一次把彈簧壓縮至最短，然后又被彈簧彈回。由于薄板Q的絕緣性能有所欠缺，使得小球每次離開(kāi)Q瞬間，小球的電荷量都損失一部分，而變成剛與Q接觸時(shí)小球電荷量的（k>l）。求：
（1）彈簧第一次壓縮到最左邊時(shí)的彈性勢(shì)能；
（2）小球在與B板相碰之前，最多能與薄板Q碰撞多少次；
（3）設(shè)A板的電勢(shì)為零，當(dāng)k=2，且小孔右側(cè)的軌道粗糙與帶電小球間的滑動(dòng)摩擦力時(shí)，求帶電小球初、末狀態(tài)的電勢(shì)能變化量。

Answer 1

解：（1）當(dāng)P由靜止開(kāi)始釋放到彈簧第一次壓縮到最左邊的過(guò)程中，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律可得彈性勢(shì)能：
（2）分析知，小球每次離開(kāi)Q時(shí)的速度大小相同，等于小球第一次與Q接觸時(shí)速度大小v，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
設(shè)小球與薄板Q碰撞n次后恰好向右運(yùn)動(dòng)到B板，則：
小球與薄板Q碰撞n次后向右運(yùn)動(dòng)從與Q分離到恰好到達(dá)B板的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理可得：

由以上幾式可得：（或取的整數(shù)）
（3）設(shè)小球第1次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)距A板的距離為L(zhǎng)₁，則：

設(shè)小球第2次彈回兩板間后向右運(yùn)動(dòng)最遠(yuǎn)距A板的距離為L(zhǎng)₂，則：

而此時(shí)電場(chǎng)力：，即帶電小球可保持靜止
所以帶電小球初、末狀態(tài)的電勢(shì)能變化量：