Question

3．游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會掉下來，如圖1所示．我們把這種情形抽象成為如圖2的模型：弧形軌道的下端與豎直圓軌道相接，使小球從弧形軌道上端滾下，并進(jìn)入到圓形軌道內(nèi)運(yùn)動．實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，h較小時，小球到不了圓軌道的最高點(diǎn)，也不會脫離圓形軌道；h較大時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點(diǎn)而在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動．不考慮各種阻力的作用，小球視為質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，圓軌道的半徑為R．問：

（1）h滿足什么條件時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點(diǎn)而在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動？
（2）h滿足什么條件時，小球到不了圓軌道的最高點(diǎn)，也不會脫離圓形軌道，在此條件下，小球?qū)�圓形軌道的最低點(diǎn)的最大壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）小球不脫離軌道有兩種情形：一種小球能通過最高點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動．另一種小球下半個圓軌道上來回運(yùn)動．當(dāng)小球恰能通過最高點(diǎn)時由重力作為向心力，由向心力的公式可以求得小球通過最高點(diǎn)的臨界速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．
（2）當(dāng)小球恰好通過與軌道圓心等高位置時速度為零，由機(jī)械能守恒求此時的h，即可得到h的范圍，結(jié)合機(jī)械能守恒求出此時小球的速度，再由向心力的表達(dá)式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)小球能經(jīng)過最高點(diǎn)，且過最高點(diǎn)時的速度為v，
在最高點(diǎn)$F+mg=m\frac{v^2}{R}$
小球能過最高點(diǎn)，應(yīng)滿足：F≥0
從釋放到小球運(yùn)動到圓軌道的最高點(diǎn)的過程中$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$
解得：$h≥\frac{5}{2}R$
（2）小球在圓軌道內(nèi)上升的高度不超過圓心，則小球就不會脫軌，所以h≤R． 
當(dāng)h=R時，小球過最低點(diǎn)時速度最大，對軌道的壓力最大，從釋放到最低點(diǎn)的過程中，$\frac{1}{2}mv_1^2=mgR$
式中v₁為h=R時小球經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時的速度．
在最低點(diǎn)：${F_{max}}-mg=m\frac{v_1^2}{R}$
解得：F_max=3mg
答：（1）當(dāng)滿足$h≥\frac{5}{2}R$時，小球可以順利通過圓形軌道的最高點(diǎn)而在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動；
（2）當(dāng)滿足h≤R時，小球到不了圓軌道的最高點(diǎn)，也不會脫離圓形軌道，在此條件下，小球?qū)�圓形軌道的最低點(diǎn)的最大壓力是3mg．

點(diǎn)評 本題屬于圓周運(yùn)動中繩的模型，在最高點(diǎn)時應(yīng)該是重力恰好作為圓周運(yùn)動的向心力，對于圓周運(yùn)動中的兩種模型一定要牢牢的掌握．