Question

3．如圖所示，在升降機側壁上用輕繩懸掛一個質量為m=1kg的小球，懸線與豎直方向的夾角為θ=30°，當地的重力加速度為g=10m/s²，忽略一切摩擦．
（1）當升降機相對地面靜止時，求懸線對小球的拉力和升降機側壁對小球的彈力．
（2）當升降機以a=5m/s²的加速度豎直向下勻加速開始運動時，求懸線對小球的拉力和升降機側壁對小球的彈力．
（3）已知繩能承受的最大拉力為小球重力的$\sqrt{3}$倍，求當升降機以多大的加速度豎直向上勻加速運動時，繩才能不被拉斷．

Answer 1

分析 對小球受力分析，細線對小球的拉力為F₁，豎直壁對球的彈力為F₂．重力G，對小球受力分析，依據水方向受力平衡，豎直方向受力平衡或做勻加速直線運動，在平衡方向列平衡方程，在由加速度的方向，由牛頓第二定律求出加速度和力的關系式，兩個方向上的公式聯(lián)合起來就能解得需要的結果．

解答 解：設小球的質量為m，所受重力為G，F(xiàn)₁與水平面的夾角為θ，對小球受力分析如圖所示：

對小球：
F₁cosθ=mg，
F₁sinθ=F₂，
解得：
${F}_{1}=\frac{mg}{cosθ}=\frac{1×10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}N$=11.55N，
${F}_{2}=mgtanθ=1×10×\frac{\sqrt{3}}{3}N=5.77N$．
（2）當升降機向下加速運動時，對小球，由牛頓第二定律得：
G-F₁sinθ=ma，
水平方向上受力平衡得：
F₂=F₁cosθ，
解得：
${F}_{1}=\frac{mg-ma}{cosθ}=\frac{1×10-1×5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=5.77N$，
${F}_{2}=m（g-a）tanθ=1×（10-5）×\frac{\sqrt{3}}{3}N=2.89N$．
（3）當升降機以一定的加速度加速上升時，繩恰好被拉斷，則：
$\sqrt{3}mgcosθ-mg=ma$，
解得：
$a=（\sqrt{3}cosθ-1）g=（\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-1）×10=5m/{s}^{2}$．
當升降機以a＜5m/s²的加速度豎直向上勻加速運動時，繩才能不被拉斷．
答：
（1）當升降機相對地面靜止時，懸線對小球的拉力11.55N，升降機側壁對小球的彈力5.77N．
（2）當升降機以a=5m/s²的加速度豎直向下勻加速開始運動時，懸線對小球的拉力5.77N，升降機側壁對小球的彈力2.89N．
（3）已知繩能承受的最大拉力為小球重力的$\sqrt{3}$倍，當升降機以a＜5m/s²的加速度豎直向上勻加速運動時，繩才能不被拉斷．

點評 本題三問采用的是一個處理方法：運動方向列牛頓第二定律，垂直運動方向列平衡方程，此方法為牛頓第二定律應用的最經典案例，要點為：運用牛頓第二定律分析力的變化，關鍵要抓住水平方向上小球沒有加速度，力是平衡的，豎直方向合力產生加速度；同時注意臨界條件的確定，該題第三問不能區(qū)等號，等于5m/s²時繩子恰好被拉斷．