Question

2．一人耍球，繩長(zhǎng)為0.5m，繩端系有質(zhì)量為2kg的小球，握繩另一端手的位置不變，使小球在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，人的質(zhì)量為48kg．取g=10m/s．問：
（1）小球在最高點(diǎn)的速度至少為多大？
（2）小球最高點(diǎn)時(shí)速度至少多大可使人離地？
（3）若繩子能承受的最大拉力大小為420N．求小球經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)允許的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力提供向心力列式求解小球在最高點(diǎn)的最小速度．
（2）先以人為研究對(duì)象，求出人受到的拉力，然后以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，由重力與拉力提供向心力即可求出．
（3）根據(jù)拉力和重力的合力提供向心力列式求解．

解答 解：（1）重力恰好提供向心力時(shí)，速度最小，有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gl}=\sqrt{10×0.5}=\sqrt{5}$m/s
（2）設(shè)最高點(diǎn)速度為v₂時(shí)人恰好能離開地面，人恰好能離開地面時(shí)受到的繩子的拉力與重力大小相等，所以：F=Mg=48×10=480N
小球在最高點(diǎn)受到的繩子的拉力與重力的合力提供向心力，所以：
$m\frac{{v}_{2}^{2}}{l}=mg+F$
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=$5\sqrt{5}$m/s
（3）設(shè)最低點(diǎn)速度v₃時(shí)恰好將繩子拉斷，根據(jù)牛頓第二定律得：
${F}_{m}-mg=\frac{m{v}_{3}^{2}}{l}$
代入數(shù)據(jù)得：v₃=10m/s
答：（1）要能夠做完整圓周運(yùn)動(dòng)小球在最低點(diǎn)速度至少是$\sqrt{5}$m/s；
（2）小球最高點(diǎn)時(shí)速度至少$5\sqrt{5}$m/s可使人離地；
（3）若繩子能承受的最大拉力大小為420N．小球經(jīng)最低點(diǎn)時(shí)允許的最大速度是10m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及幾種不同情景下的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的情況，關(guān)鍵明確向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析討論，中檔題目．