Question

7．某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知衛(wèi)星v、T和軌道半徑為R，則地球的質(zhì)量M=$\frac{{v}^{2}R}{G}$、M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；已知某火星的質(zhì)量M、半徑為R、表面重力加速度g，火星第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和線速度或周期求出地球的質(zhì)量．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力求出火星的第一宇宙速度．

解答 解：根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，地球的質(zhì)量為：M=$\frac{{v}^{2}R}{G}$，或?yàn)椋篗=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，火星的第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，或?yàn)椋簐=$\sqrt{gR}$．
故答案為：$\frac{{v}^{2}R}{G}$，$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，$\sqrt{gR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．