Question

【題目】如圖所示，一斜面體固定在水平地面上，傾角為θ=30°、高度為h=1.6m。一薄木板B置于斜面頂端，恰好能保持靜止，木板下端連接有一根自然長度為l0=0.2m的輕彈簧，木板總質量為m=1kg，總長度為L=2.0m。一質量為M=3kg的小物塊A從斜面體左側某位置水平拋出，物塊A經過一段時間后從斜面頂端以4m/s的速率沿平行于斜面方向落到木板B上并開始向下滑行，已知A、B之間的動摩擦因數為。木板下滑到斜面底端碰到擋板時立刻停下，物塊A最后恰好能脫離彈簧，且彈簧被壓縮時一直處于彈性限度內，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g=10m/s2，不計空氣阻力。求：

(1)物體A水平拋出時離地面的高度H；

(2)薄木板B從開始運動到與檔板碰撞所需的時間；

(3)彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。

Answer 1

【答案】(1)1.8m；(2)0.6s；(3)5J

【解析】

(1)物塊A落到B上時

解得

vy＝2m/s

物塊A落到木板前做平拋運動，豎直方向：

解得

H＝1.8m

(2)由木板恰好靜止在斜面上，得到斜面與木板間的動摩擦因數μ0應滿足：

mgsin 30°＝μ0mgcos 30°

得

物塊A在木板上滑行時，以A為研究對象有：

(沿斜面向上)

以木板B為研究對象有：

(沿斜面向下)

假設A與木板達到共同速度v共時，A還沒有壓縮彈簧且木板還沒有到達底端，則有：

v共＝aBt1＝v－aAt1

解得

v共＝3 m/s，t1＝0.4 s

此過程

故

Δx＝xA－xB＝0.8 m<L－l0＝1.8m

說明以上假設成立

共速后，由于(M＋m)gsin 30°＝μ0(M＋m)gcos 30°，A與木板B一起勻速到木板與底端擋板碰撞，該過程所需時間

所以

t=t1+t2=0.6s

(3)木板停下，此后A做勻減速到與彈簧接觸，然后A壓縮彈簧至最短，設接觸彈簧時A的速度為vA，有：

－2aA(L－l0－Δx)＝vA2－v共2

解得

vA＝2 m/s

設彈簧最大壓縮量為xm，A從開始壓縮彈簧到剛好回到原長過程有：

Q＝2μMgxmcos 30°＝

得

Q＝6 J，xm＝m

A從開始壓縮彈簧到彈簧最短過程有

Epm＝＋Mgxmsin 30°－＝5 J

即彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能為5J。