Question

17．如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌CD、EF傾斜放置，其所在平面與水平面間的夾角為θ，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌下端分別連著電容為C的電容器和阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒放在導(dǎo)軌上，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，一根不可伸長的絕緣輕繩一端拴在金屬棒中間、另一端跨過定滑輪與質(zhì)量為M的重物相連．金屬棒與定滑輪之間的輕繩始終在兩導(dǎo)軌所在平面內(nèi)且兩導(dǎo)軌平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)線所在平面向上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，初始狀態(tài)用手托住M使輕繩恰處于伸直狀態(tài)，由靜止釋放M．
求：（重力加速度大小為g）
（1）若S₁閉合、S₂斷開，M的最大速度；
（2）若S₁和S₂均閉合，電容器的最大帶電量；
（3）若S₁斷開、S₂閉合，M的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動時(shí)受力平衡，由平衡條件和安培力公式列式，即可求得最大速度．
（2）若S₁和S₂均閉合，電容器兩端的電壓與R兩端的電壓相等，結(jié)合閉合電路的歐姆定律與Q=CU即可求出最大帶電量；
（3）若S₁斷開、S₂閉合，由E=BLv以及閉合電路的歐姆定律求出電路中的電流的表達(dá)式，然后結(jié)合牛頓第二定律以及運(yùn)動學(xué)的公式即可求出M的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系．

解答 解：（1）若S₁閉合、S₂斷開，M釋放后向下運(yùn)動，金屬棒向上運(yùn)動，金屬棒后達(dá)到了平衡狀態(tài)時(shí)，設(shè)金屬棒速度為v₁，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：E₁=BLv₁
根據(jù)閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$
金屬棒受到的安培力為：F_安=BI L
金屬棒勻速運(yùn)動時(shí)有：mgsin30°+F_安=Mg
解得：v₁=$\frac{g（M-msinθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）S₁和S₂均閉合，時(shí)干路中的電流值與S₁閉合、S₂斷開相等，所以電容器兩個(gè)極板之間的最大電壓：U_m=U_R=IR
電容器的帶電量：Q=CU_m
聯(lián)立得：Q=$\frac{（M-msinθ）gRC}{BL}$
（3）若S₁斷開、S₂閉合，設(shè)從釋放M開始，經(jīng)過時(shí)間t后棒的受到大小為v，加速度大小為a，通過金屬棒的電流為i，則金屬棒受到的安培力：Fi=BLi，方向沿導(dǎo)軌的方向向下．
設(shè)在t-t+△t時(shí)間內(nèi)流過金屬棒的電量為△Q，則△Q也是平行板電容器在t-t+△t時(shí)間內(nèi)增加的電量，
由：△Q=C•BL△v，式中△v為速度的變化量，且：△v=a△t
則：$i=\frac{△Q}{△t}=\frac{C•BL△v}{△t}=CBLa$
設(shè)繩子中的拉力為T，對金屬棒，由牛頓第二定律，則：T-mgsinθ-BiL=ma
對M，有：Mg-T=Ma
聯(lián)立可得：a=$\frac{Mg-mgsinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}$
可知M做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，速度：v=at=$\frac{M-msinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}•gt$
答：（1）若S₁閉合、S₂斷開，M的最大速度為$\frac{g（M-msinθ）（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若S₁和S₂均閉合，電容器的最大帶電量為$\frac{（M-msinθ）gRC}{BL}$；
（3）若S₁斷開、S₂閉合，M的速度v隨時(shí)間t變化的關(guān)系為v=$\frac{M-msinθ}{M+m+C{B}^{2}{L}^{2}}•gt$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，關(guān)鍵要正確推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，由平衡條件解答；同時(shí)注意明確能量轉(zhuǎn)化規(guī)律．